Очевидно ли равенство?

[druggist]

$\frac{A}{a} exp(\frac{a}{x})=\frac{A}{x}$ в пределе $a\to\o$, или это требует доказательства?

[gris]

Перепутал....

[jetyb]

Здесь произведение двух членов: один стремится к бесконечности при $a\to 0$, другой - к единице.
Какой тут может быть конечный предел?
Или $a$ как-то зависит от $x$?

[TOTAL]

druggist в сообщении #251090 писал(а):

$\frac{A}{a} exp(\frac{a}{x})=\frac{A}{x}$ в пределе $a\to\o$, или это требует доказательства?

$a\to\o$ что это и куда оно стремится?

[druggist]

TOTAL в сообщении #251097 писал(а):

$a\to\o$ что это и куда оно стремится?

a - параметр, стремится к нулю

Можно так рассуждать. Возмем производную по $x $от выражения
$\frac{A}{a} exp(\frac{a}{x})$, устремим в выражении для производной $a$ к нулю, затем проинтегрируем и получим равенство...

[Бодигрим]

Выражение в левой части не имеет предела при $a\to0$, как вам уже сказали. А вот то, что ${A\over a}\bigl(\exp({a\over x})-1\bigr)\to{A/x}$ - очевидно, также как очевидно, что вам архиполезно было бы это доказать.

[gris]

Вот с этим-то я и перепутал.
Но если у нас $x$ тоже переменная, то можно взять $x=a$ и что тогда?

[Someone]

druggist в сообщении #251090 писал(а):

$\frac{A}{a} exp(\frac{a}{x})=\frac{A}{x}$ в пределе $a\to\o$, или это требует доказательства?

Недавно кого-то ругал за такую запись. Уж хотя бы "$\frac{A}{a} exp(\frac{a}{x})\to\frac{A}{x}$ при $a\to 0$" написали, если лень писать $\lim\limits_{a\to 0}\frac{A}{a} exp(\frac{a}{x})=\frac{A}{x}$.

[druggist]

Бодигрим в сообщении #251113 писал(а):

А вот то, что ${A\over a}\bigl(\exp({a\over x})-1\bigr)\to{A/x}$ - очевидно, также как очевидно, что вам архиполезно было бы это доказать.

Можно отбросить константу $A$ и рассмотреть в общем виде (под экспонентой $f(x)$),
т.е., ${1\over a} (exp(a f(x)). Предел производной этого выражения при $a\to0$ есть $f'(x)$
Тогда имеем:
${1\over a} (exp(a f(x)) - exp(a f(x_0)) = f(x) -f(x_0)$
или:
${1\over a} (exp(a f(x)) = f(x) + {1\over a}exp(a f(x_0))-f(x_0)$



Если $f(x_0)$ конечно, то при малых а имеем

${1\over a} (exp(a f(x)) = f(x) + {1\over a}$

или, что то же самое,

${1\over a} (exp(a f(x)) -1) \to f(x)$ при $a \to 0$


P.S. "Споткнулся" об это соотношение, читая статью в "Природе":
http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/NATURE/11_04/13-20.PDF
(см. формулы (16), (17)) Спасибо уважаемым форумчанам, помогли разобраться

[Бодигрим]

gris в сообщении #251130 писал(а):

Но если у нас $x$ тоже переменная, то можно взять $x=a$ и что тогда?

Ну, автор вроде бы не собирался переходить одновременно и к пределу по $x$...