уравнения в натуральных числах

[age]

BMW M3
Как указано выше, смотрим, какие из $64+7y$ делятся на 5? Очевидно, что $7y$ должно заканчиваться либо на единицу, либо на 6. Тут же находим два решения $y=3, y=8$. Им соответствуют $x=17, x=24$. Очевидно, что если прибавить к полученным решениям $5k$, то получится снова число оканчивающееся на $1$ или на $6$.
Таким образом, общее решение данного уравнения: $y=5k+3, y=5k+8$. Им соответствуют $x=7k+17, x=7k+24$. Откуда общим решением данного уравнения в целых числах является:
$\begin{cases} 5(7k+17)-7(5k+3)=64\\ 5(7k+24)-7(5k+8)=64 \end{cases}$
Из них только два вышеуказанные соответствуют $x\leq30$.

[Профессор Снэйп]

BMW M3 в сообщении #250699 писал(а):

Решить уравнения в натуральных числах: $5x-7y=64$, если $x \leqslant 30$.
скажите с чего начать, пожалуйста

В пионерлагере "Океан" нас учили делать это так.

Для начала надо подобрать хотя бы одну пару целых $x$ и $y$, для которых справедливо указанное равенство. Есть универсальный метод подбора таких пар, основанный на алгоритме Евклида, но здесь можно к нему не прибегать, поскольку нужные числа легко находятся методом пристального вглядывания. Имеем $5 \cdot 17 - 7 \cdot 3 = 64$. Далее, находим общее решение однородного уравнения $5x-7y = 0$. Из того, что в однородном уравнении $x$ должен делиться на $7$, заключаем, что для целых $x$ и $y$ выполнено $5x-7y=0$ тогда и только тогда, когда $x = 7t$ и $y=5t$ для некоторого целого $t$. Поскольку общее решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения неоднородного и общего решения однородного, заключаем, что все целочисленные решения уравнения $5x-7y=64$ описываются следующей системой с целочисленным параметром $t$:

$$ \begin{cases} x = 17 + 7t \\ y = 3 + 5t \end{cases} $$

Осталось выяснить, при каких значениях параметра $t$ решение удовлетворяет ограничениям $1 \leqslant x \leqslant 30$ и $y \geqslant 1$. Условие $1 \leqslant x \leqslant 30$ выполняется при $-2 \leqslant t \leqslant 1$. А $y \geqslant 1$ выполняется при $t \geqslant 0$. Таким образом, $t$ равно либо нулю, либо единице, и исходное уравнение при соблюдении условия $x \leqslant 30$ имеет в натуральных числах ровно два решения: $(17,3)$ и $(24,8)$.

[BMW M3]

спасибо всем кто помог!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[gris]

Профессор Снэйп, навеяло:
Спросите у баяна, расскажет вам баян
про лагерь пионерский , про лагерь "Океан"
Так вот откуда всё пошло про баян-то...