Где ошибка?

[Imperator]

В каком месте здесь ошибка?

\[ \sqrt{-1}=\sqrt{-1} \]

\[ \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}} \]

\[ \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}\]

\[ \sqrt{1}\sqrt{1} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} \]

\[ 1 = -1 \]

Используйте, пожалуйста, тег [math]. "Остро и приятно." // нг

[Capella]

Здесь была написана глупость

[Capella]

Вообще лучше даже рассмотреть то, что в третьем пункте Вы делите на комплексное число. Преобразуйте выражение слева, домножив его на комплексно-коньюгированное и получите неравенство.

$ \frac {\sqrt{1}} {\sqrt{-1}} = \frac 1 i \to \frac 1 i \cdot \frac {-i} {-i} = \frac {-i} {1} = -i$. Справа у Вас $i$

[Imperator]

Спасибо, Capella!

[Capella]

Да не момент, чего-то я сама уже в трёх берёзах запуталась, там $-i$ получается.

[Capella]

Значит насчёт комплексных чисел: там ошибка при переходе от второго пункта к третьему. Во втором пункте корни равны ( и равны $i$), а в третьем у Вас уже два разных комплексных числа: $\frac 1 i \ne \frac i 1 = i $
$ i = e^{\frac \pi 2 + k 2 \pi} = e^{\frac \pi 2} $
$ \frac 1 i = \frac 1 {e^{\frac \pi 2 + k 2 \pi}} = ( e^{\frac \pi 2 + k 2 \pi})^{-1} = e^{- \frac \pi 2} $

[Genrih]

Capella писал(а):

Значит насчёт комплексных чисел: там ошибка при переходе от второго пункта к третьему. Во втором пункте корни равны ( и равны ), а в третьем у Вас уже два разных комплексных числа: $\frac 1 i \not = \frac i 1$

Да, именно при переходе от 2-го к 3-му. Т.к. мы уже в поле комплексных чисел с самого начала.

Эта (ш)утка и здесь есть.

[Someone]

Вычисления производятся в поле комплексных чисел, где $\sqrt{1}$ и $\sqrt{-1}$ имеют по два значения. Поэтому, если у Вас два раза написано одно и то же выражение, содержащее эти корни, Вы в действительности не можете быть уверены, что в обоих случаях это выражение имеет одно и то же значение. Даже равенство $\sqrt{1}=\sqrt{1}$ в поле комплексных чисел может оказаться неверным, если его интерпретировать как числовое равенство, а не как равенство многозначных функций.

[Аурелиано Буэндиа]

или еще можно рассматривать $\sqrt{.}$ как однозначную функцию, но определенную на двулистной римановой поверхности (я не знаю как ее обозначают математики, ну, допустим $G$), т.е. $\sqrt{.}$: $G\to C$, тогда получается, что
$\sqrt{1_1}\neq \sqrt{1_2}$
(индексы означают номер листа римановой поверхности)
поскольку 1-цы принадлежат разным листам римановой поверхности. И можно даже сказать, что $\sqrt{1_1}=1$, а $\sqrt{1_2}=-1$


С учетом этого, ошибка действительно при переходе от 2-й строчки к 3-й.
Должно быть

$$ \sqrt{\frac{1}{-1_1}}=\frac{1}{\sqrt{-1_2}} \hbox{ но не } \frac{1}{\sqrt{-1_1}} $$