Вычисление интеграла с заданной точностью

[GAA]

Ничего «не сменили». $\int_0^{0.5} \frac{\sin x^2}{x^2} dx \approx 0.4989601399$. При интегрировании всюду в качестве верхнего предела, за исключением опечатки на картинке, используется 0.5.

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться (М)" в карантин. Ссылки на внешние файлы с формулами не допускаются; наберите формулы так, как это принято на форуме (используя $\TeX$).

Добавлено спустя 30 минут 5 секунд:

Так редактировать нельзя. Вы нарушили логику обсуждения в теме

Эйлер писал(а):

Уважаемы GAA, помогите мне, пожалуйста!
Вычислить интеграл $\int_0^{0,1}\sin\frac {x^2}{2}dx$ с точностью $0,001$.
$\int_0^{0,1}\sin\frac {x^2}{2}dx=\int_0^{0,1}(\frac {x^2}{2}-\frac {x^6}{3!\cdot 8}+\frac {x^{10}}{5!\cdot 32}-...)=(\frac {1}{6\cdot 10^3}-\frac {1}{3!\cdot 8\cdot 7\cdot 10^7}+\frac {1}{5!\cdot 32\cdot 11\cdot 10^{11}}-...)$

Получили $\frac {1}{6\cdot 10^3}<0,001$, что делать?

Полностью согласен с ответом AD. В ответе можно привести 0.
Однако, скорее всего, в задании опечатка. Лучше всего уточнить условие у преподавателя, но если это сделать затруднительно. То можно сразу, дополнительно, решить пример для еще одного верхнего значения, например 0.5.

[Эйлер]

Я на будущее учту Ваши замечания.
Если бы Вы позволили, я бы поместил на форум или дал бы ссылку о том, как выглядит методичка с заданием.
А интеграл я пересчитал с верхним пределом $0,5$. Все-таки, GAA, я не понимаю, как можно записать в ответе ноль, чем это аргументировать, тем, что данный интеграл не может быть посчитан с заданной точностью, так?

$\int_0^{0,5}\sin\frac {x^2}{2}dx=\int_0^{0,5}(\frac {x^2}{2}-\frac {x^6}{3!\cdot 8}+\frac {x^{10}}{5!\cdot 32}-...)=(\frac {1}{6\cdot 2^3}-\frac {1}{3!\cdot 8\cdot 7\cdot 2^7}+\frac {1}{5!\cdot 32\cdot 11\cdot 2^{11}}-...)$

Получили $\frac {1}{6\cdot 2^3}, $\frac {1}{3!\cdot 8\cdot 7\cdot 2^7}<0,001$.
Ответ: $\frac {1}{6\cdot 2^3}$

[GAA]

1. Ссылка на документ (в качестве доказательства) может сопровождать текст, набранный при помощи $\TeX$. Можно не всё набрать на форуме, но, по крайней мере, отразить суть.

2. Как раз значение 0 — это и есть значение интеграла с заданной точностью. И аргументировать это нужно только так.
С вычислительной точки зрения это еще можно проиллюстрировать так. В начальный момент перемененной, в которой накапливается сумма, присваивается значение 0. Затем, выполняется суммирование, пока абсолютное значение очередного слагаемого не станет меньше заданной точности. В данном случае ни одно прибавление не будет выполнено.

3. Да, так.

[Эйлер]

Я очень признателен участникам форума, которые мне помогли, а особенно GAA.
P.S. я отредактировал вновь своё сообщение.

[ewert]

Эйлер в сообщении #208592 писал(а):

Если бы Вы позволили, я бы поместил на форум или дал бы ссылку о том, как выглядит методичка с заданием.

Беда в том, что картинка, которую Вы приводили, относится вовсе не к конкретному заданию, а, видимо, к примеру решения задания, содержащемуся в той методичке. Поэтому понять, что же именно Вы спрашиваете -- совершенно невозможно. Вот, дескать, "сменили пределы". Кто, что, где и как сменил?...

К тому же не облегчает дело то, что Вы пытаетесь параллельно говорить о двух разных интегралах. Абсолютно непонятно, на что отвечать.

Эйлер в сообщении #208599 писал(а):

P.S. я отредактировал вновь своё сообщение.

После чего уж и совсем всё непонятно. Что и где отредактировали? Пишите заново.

[Эйлер]

В качестве доказательства привожу пример задания (пусть это будет с разрешения GAA, в качестве исключения в сложившейся ситуации), который вызвал у меня затруднение и сомнение участников форума, помогавшим мне в его решении. Задание звучит так: "Вычислить интеграл с точностью $\alpha=0,001$".
$17.2$ $\int_0^{0,1}sin\frac {x^2}{2}dx$.
Прошу меня заранее извинить, но от легализованного штампа при конвертировании из профессионального PDF не удалось избавиться


В данной методичке, как Вы уже догадались, приведены контрольные задания. Первое задание, с которым я открывал тему, было в качестве показательного, но из другой методички, которая дана нам затем, чтобы показать как оформлять контрольное задание. Но увы, как оказалось, там присутствуют опечатки. Прежде чем выполнить контрольную работу, я разбирал показательные примеры и не понял действий, приведенных в показательной методичке.

Добавлено спустя 8 минут 4 секунды:

Что можете сказать?

[ewert]

Что ж, похоже, составители действительно хлопнули ушами с пределом 0.1, да и, скажем, задача 17.4 -- тоже полное безобразие. Вам не остаётся ничего другого, кроме как тупо следовать инструкции и оставить 0. Но во избежание недоразумений добавьте в ответе какую-нибудь разъясняющую фразу типа: "Поскольку уже первый член ряда меньше допустимой погрешности, интеграл в пределах заданной точности можно считать равным нулю".

Да, и поищите, нет ли всё-таки где-нибудь упоминаний о том, что погрешность должна быть именно относительной. Маловероятно, конечно, но чем чёрт не шутит? Уж если авторы позволяют себе такие небрежности -- от них всего можно ожидать.

[Эйлер]

Ewert, благодарю Вас! Дело в том, что методичку составляли в Вузе. Можно понять, что там кто-то сделал опечатку. Это можно и понять, как безобразно показывался демонстративный пример, который GAA удалил.
По поводу погрешностей ничего не сказано.
Спасибо!

[I-O]

Решение 5-ю численными методами с помощью моей программы в режиме online: http://www.integral-online.ru/.

Math.sin(x*x/2) -> sin(x^2/2) [0,0.1], e=0.001

Метод прямоугольников: 0.00006249998372395962
Метод средних : 0.0001562498143514731
Метод трапеций : 0.00018749946289127738
Метод Симпсона : 0.00016666636386474117
Метод 3/8 : 0.00016666636857995995