Задача по теореме Ферма

[age]

Уравнение $x^n+y^n=z^n$ всегда можно представить $(c-a)^n+(c-b)^n=(a+b)^n$ (докажите сами).

Докажите, что уравнение $(c^n-a^n)^n+(c^n-b^n)^n=(a^n+b^n)^n$ не имеет решений в целых числах.

[fer1800]

Здравствуйте.
Дам некоторые ссылки на статьи, связанные с Фермой.
Их можно найти на моём сайте:
<--------------------------------------->

Jnrty:

Реклама сайта запрещена. Ссылку удаляю.

[yk2ru]

$x+ y - z = 2u$
$a = x - u$
$b = y - u$
$c = z + u$
$x = z + u - (y - u) = c - b$
$y = z + u - (x - u) = c - a$
$z = x + y - 2u = a + b$

[age]

yk2ru
Совершенно верно!

[Гаджимурат]

age в сообщении #250651 писал(а):

Докажите, что уравнение $(c^n-a^n)^n+(c^n-b^n)^n=(a^n+b^n)^n$ не имеет решений в целых числах.

Задача для начинающих "фермистов". Действительно данное равенство не имеет решений в целых числах. Почему?.Я не буду расписывать подробно и на примере $n=3$ замечу,что расскрыв скобки и сократив одинаковые члены,то мы в правой части будем иметь один член,который будет делится только на $3^4$,а в левой части будем иметь три члена. Первый член $c^9$ будет делится на $3^{18}$.
Сумма второго и третьего члена разделится только на $3^7$ (не меньше),
т.к $c=9c_1$ и $u=9u_1$.Вывод сделать не трудно.Легко показать и для $n$.

[age]

Гаджимурат
Можно написать проще: по теореме Ферма задача решений не имеет! Но именно весь смысл как раз в том, чтобы расписать поподробнее. А ведь предложенная задача куда проще теоремы Ферма! Поупражняться в гибкости своего ума!

[Гаджимурат]

age в сообщении #251460 писал(а):

Поупражняться в гибкости своего ума!

Выполняю Вашу просьбу.
1. $c^3-a^3)^3+(c^3-b^3)^3=(a^3+b^3)^3$
2. $x=a+u$
3. $y=b+u$
4. $z=c-u$
5. $x+y-z=2u$. Это Ваши равенства.
Из моей теории следует,что если бы ур-ние Ф. имело решение в целых числах,то:
$x=a_1b_1c_1+b_1^3/3$
$y=a_1b_1c_1+a_1^3$
$z=a_1b_1c_1+a_1^3+b_1^3/3$ .Здесь приняли случай,когда $x$ делится на 3.
$2u=a_1b_1c_1$ ,а $a,b,c$ это не $a_1,b_1,c_1$.
Возведем (1) в 3 степень,имеем:
$c^9-3c^3a^3(c^3-a^3)-a^9+c^9-3c^3b^3(c^3-b^3)-b^9=a^9+3a^3b^3 (a^3+b^3)+b^9$ .Проведем сокращения и,имеем:
$2c^9-3c^3a^3(c^3-a^3)-3c^3b^3(c^3-b^3)=2a^9+2b^9+3a^3b^3(a^3+b^3)$
$2c^9-2b^9$ делится на $3^4$ ,т.как $x$ должно делится минимум на 9.
$a$ делится на 9 и более,то:$3c^3a^3(c^3-a^3)$ делится на $3^7$ и более.
$3c^3b^3(c^3-b^3)$ делится на $3^4$ и $a^9$ делится на $3^{18}$ и
последний член делится на $3^7$.Но
$2c^9-2b_9-3c^3b^3(c^3-b^3)=2(c^3-b^3)^3+3c^3b^4(c^3-b^3)$ ,отсюда
$3c^3b^3(c^3-b^3)$ делится только на $3^4$,а все остальные члены делятся на
$3^7$ и более.Вывод сделайте сами.Можно рассмотреть случаи ,когда $y$
или $z$ делится на 3.

[age]

Увы, так не пойдет! Во-первых, что такое и откуда взялись $a_1, b_1, c_1$? Во-вторых, что такое (1)? Вы же не для стенок пишете, так что сделайте хотя бы, чтобы с вами можно было поспорить. Объясните обозначения.

[Гаджимурат]

age в сообщении #251737 писал(а):

Увы, так не пойдет! Во-первых, что такое и откуда взялись$a_1,b_1,c_1$ ? Во-вторых, что такое (1)?

$a_1,b_1,c_1$ взяты из моей статьи на данном форуме -"Вывод основных ур-ний для анализа ВТФ", но там используются символы $a,b,c$.
(1) -это 1. Приношу извинения.

[age]

Гаджимурат
Понятно. И все же числа вроде $3^{18}$ меня пугают. Так можно добраться и до чисел вида $3^{2187}$.

[Гаджимурат]

age в сообщении #252040 писал(а):

Понятно. И все же числа вроде $3^{18}$ меня пугают. Так можно добраться и до чисел вида $3^{2187$.

Нет,забираться не куда не надо.
Решение в общем виде,если в Вашем ур-нии раскрыть скобки,произвести необходимые преобразования и вместо членов записать как они делятся на $n$ и,если принять,что $x$ делится на $n^k$, где $k=2,3,4....$, будет выглядеть так:
$n^{kn}+n^{(k+1)(n-3)+1}+n^{(k+1)(n-5)+1}+.....+n^{k+2}-n^{kn+1}$
+$n^{2kn+1}-......-n^{(kn)^2}$,т.есть будет один член ,который делится на $n^{k+2}$,остальные делятся на$n^{3k+4}$ и более,а это приводит к выводу,что $c,b,a$ числа не взаимно простые.Аналогично, если $y$ ,т.есть $b$ будет делится на $n$ и,если $z$ ,т.есть $a+b$ и $c$ ,будут делится на $n$.

[age]

К сожалению, первая задача так и осталась нерешенной, мое же решение где-то затерялось, как найду - выложу!

Следующая задача:
Докажите, что уравнение $x^3+y^3=(a^3+b^3)^k$ не имеет решений в целых числах при $k>1$, если справедлива система:
$\begin{cases} x+y=(a+b)^k\\ x^2-xy+y^2=(a^2-ab+b^2)^k \end{cases}$

Вначале, в соответствии с правилами форума рекомендую найти решение при $k=3$ и даже $k=2$ . А потом, в случае успеха, - для остальных $k$.