Сумма странного множества

[Виктор Викторов]

Любую вещь можно назвать трамваем. Об этом нужно только договориться.

[malin]

Цитата:

Может ли быть сумма всех положительных чисел, являющихся элементами несчетного множества, оказаться равной конечному числу?
Можно ли вообще определить корректно такое сложение?

Да, может. Да, можно. Вспомните понятие меры - и рассматривайте сложение ваших чисел, как меру от их объединения. Например, если А = [0,1], то мера Лебега от А равна мере Лебега от всех его положительных чисел = 1. Или попробуйте ввести какую-нибудь новую меру.

[Хорхе]

Кстати, о трамваях. Вот такая вещь тут (в Нанси, Лотарингия) по улицам ездит - трамваи, которые одновременно являются автобусами, троллейбусами и трамваями.

О чем это я? А как раз о том, что мы не называем вещь трамваем. Равенству

$$ \sum_{k=0}^\infty 4^k = -\frac 13 $$

можно легко придать четкий математический смысл.

-- Сб окт 10, 2009 23:17:23 --

Если уж на то пошло, то и $2+2=4$ -- "называние вещи трамваем". В принципе, я ничего не имею против, так оно и есть.

[ewert]

Хорхе в сообщении #250771 писал(а):

по улицам ездит - трамваи, которые одновременно являются троллейбусами и трамваями.

Это невозможно. Трамваи ходють по определению по рельсам, по ним же по определению и питаются (т.е. верхний провод на рельсы обязан закорачиваться). Троллейбусы же -- по определению обязаны питаться только поверху. Конечно, можно скрестить ужей с ежами, но тогда прохожие по тротуарам обязаны будут постоянно дрыгать как верхними, так и нижними лапками, что не есть демократично.

[Виктор Викторов]

malin в сообщении #250738 писал(а):

Цитата:

Может ли быть сумма всех положительных чисел, являющихся элементами несчетного множества, оказаться равной конечному числу?
Можно ли вообще определить корректно такое сложение?

Да, может. Да, можно. Вспомните понятие меры - и рассматривайте сложение ваших чисел, как меру от их объединения. Например, если А = [0,1], то мера Лебега от А равна мере Лебега от всех его положительных чисел = 1. Или попробуйте ввести какую-нибудь новую меру.

Мера, скорее, обобщение длины. Как сюда можно «привязать» сумму всех элементов множества?

Хорхе в сообщении #250771 писал(а):

Равенству

$$\sum_{k=0}^\infty 4^k = -\frac 13$$

можно легко придать четкий математический смысл.

Поделитесь как?

ewert в сообщении #250773 писал(а):

Хорхе в сообщении #250771 писал(а):

по улицам ездит - трамваи, которые одновременно являются троллейбусами и трамваями.

Это невозможно. Трамваи ходють по определению по рельсам, по ним же по определению и питаются (т.е. верхний провод на рельсы обязан закорачиваться). Троллейбусы же -- по определению обязаны питаться только поверху. Конечно, можно скрестить ужей с ежами, но тогда прохожие по тротуарам обязаны будут постоянно дрыгать как верхними, так и нижними лапками, что не есть демократично.

«Созвездие Козлотура».

[Хорхе]

Виктор Викторов в сообщении #250775 писал(а):

Поделитесь как?

Я написал как перед вашим пассажем о трамваях.

-- Сб окт 10, 2009 23:59:29 --

ewert в сообщении #250773 писал(а):

Хорхе в сообщении #250771 писал(а):

по улицам ездит - трамваи, которые одновременно являются троллейбусами и трамваями.

Это невозможно. Трамваи ходють по определению по рельсам, по ним же по определению и питаются (т.е. верхний провод на рельсы обязан закорачиваться). Троллейбусы же -- по определению обязаны питаться только поверху. Конечно, можно скрестить ужей с ежами, но тогда прохожие по тротуарам обязаны будут постоянно дрыгать как верхними, так и нижними лапками, что не есть демократично.

Они еще и автобусами являются, вот как. То есть могут ездить без питания вообще, видимо, на аккумуляторе на дизеле.
Картинки и текст

[Виктор Викторов]

Я бы посмотрел, если бы Вам гонорар выплатили в 2-адичной метрике. Что касается пассажа о трамваях, то молва приписывает его академику Лузину. Мне кажется, что наш диалог эту фразу хорошо иллюстрирует.
Ну и картинки у Вас!

[malin]

Цитата:

Мера, скорее, обобщение длины. Как сюда можно «привязать» сумму всех элементов множества?

Ну тут опять можно говорить о трамваях
Что требуется от сложения? коммутативность? ассоциативность? Sasha2 хочет, чтобы сумма всех положительных чисел, являющихся элементами несчетного множества, оказалась равной конечному числу.

Ну так давайте зададим сумму множеств А и B как A+B = m(AUB).
теперь пусть множество X = [0,1], тогда сумма всех его положительных чисел равна мере от их объединия. То есть она равна m(X), и ,если m - мера Лебега, то m(X) = 1.

[Профессор Снэйп]

Sasha2 в сообщении #250490 писал(а):

Может ли быть сумма всех положительных чисел, являющихся элементами несчетного множества, оказаться равной конечному числу?

Нет, не может.

Sasha2 в сообщении #250490 писал(а):

Можно ли вообще определить корректно такое сложение?

Да, такое сложение определяется достаточно корректно.

Пусть $I$ --- произвольное множество, не обязательно счётное, и $\{ a_i \}_{i \in I}$ --- семейство чисел. Пусть $\mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(I)$ --- множество всех конечных подмножеств множества $I$. Для каждого $A \in \mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(I)$ пусть $s(A) = \sum_{i \in A} a_i$. Число $a$ полагается по определению равным значению суммы $\sum_{i \in I} a_i$, если

$$ (\forall \varepsilon > 0)(\exists A \in \mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(I))(\forall B \in \mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(I))(A \subseteq B \rightarrow |s(B)-a| < \varepsilon) $$

Другими словами, $\langle \mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(I), \subseteq \rangle$ --- направленное множество, $\{ s(A) \}_{A \in \mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(I)}$ --- сеть и сумма $\sum_{i \in I} a_i$ считается равной пределу этой сети.

Легко доказать, что если эта сумма существует, то все $a_i$-ые, за исключением не более чем счётного числа, равны нулю (у нас на третьем курсе это было одно из домашних заданий по функану).

[RIP]

Другими словами, $\sum_{i\in I}a_i$ --- это интеграл Лебега $\int_If\,d\mu$ от функции $f(i)=a_i$ по считающей мере $\mu(A)=\#A$, $A\subset I$.

[malin]

Ну или

Цитата:

Другими словами, "$\sum_{i\in I}a_i$" это интеграл Лебега $\int_If\,d\mu$ от функции $f(i)=a_i$ по считающей мере $\mu(A)=\#A$, $A\subset I$.

По-моему, это тоже самое.

[Виктор Викторов]

Предлагаю вернуться к вопросу какова сумма натурального ряда. Давайте рассмотрим в этой сумме каждое слагаемое как кардинал конечного множества. В таком случае сумма натурального ряда равна $\aleph_0$. Пишу я это не совсем бескорыстно. Меня интересует произведение натурального ряда.
Меня интересует произведение натурального ряда. Сколько будет $1*2*3*...*n*...$?

[Mathusic]

$1 \cdot 2 \cdots n=n!$.

[Виктор Викторов]

Mathusic в сообщении #262848 писал(а):

$1 \cdot 2 \cdots n=n!$.

Я спрашиваю о произведении, в котором сомножители все члены натурального ряда $1 \cdot 2 \cdots n \cdots$

[gris]

Можно произведение прологарифмировать. Сумма логарифмов будет тоже алеф. Ну и возвести любое основание в эту степень. Ясно, что получится.