Отображение элементарных функций на гладких кривых

[e7e5]

Помогите пожалуйста на языке математики сформулировать задачу.
Рассматривая рисунки Леонардо ДаВинчи, разные механизмы, частенько замечаешь, что "меахнизмы" несут какое-то преобразование.
Например, вращательное движение в возвратно поступательное, равномерное движение в движение по заданному закону.

Далее, пусть некоторая элементарная функция функция $f_1(t)$ харатеризует движение вдоль некоторой заданной гладкой плоской кривой $L_1$.
Это функцию нужно преобразовать в наперед заданную другую элементарную функцию $f_2(t)$ на некоторой искомой кривой $L_2$.
при этом, видимо, надо задать желаемое уравнение связи кривых $L_1$ и $L_2$
Такое преобразование и будем называть отображением элементарных функций на гладких кривых

1) Как это все записать на языке математики?
2) Можно ли понять, для всех ли пар элементарных функций существует такое отображение?


Найти условия, при которых возможно ( невозможно) построение плоской кривой $L_2$

[gris]

На плоскости можно описать движение вдоль некоторой кривой уравнениями

$(x;y)=(f_1(t);f_2(t))$.

То есть фактически это будет не одна, а две функции от одного аргумента - времени. В Вашем случае эти функции будут периодическими. Они будут описывать не только форму траектории, но и положение точки на ней в каждый момент времени. Всё это прекрасно описано в курсе теоретической механики.

Движение вдоль второй кривой описывается соответственно уравнениями

$(x;y)=(g_1(t);g_2(t))$

Ваша задача найти такие функции $R_1(t);R_2(t)$, что

$(g_1(t);g_2(t))=(R_1(f_1(t));R_2(f_2(t)))$ для любого $t$

Если же для второго движения важна только форма кривой, то попробуйте что-нибудь аналогичное. Почитайте про параметризацию кривых в самом начале любой книжки по классической диффгеометрии.

[Yu_K]

У Пафнутия Львовича есть пример хороший - ссылку можно поискать http://www.etudes.ru/ru/mov/mov025/index.php.

[Алексей К.]

gris в сообщении #248717 писал(а):

Ваша задача найти такие функции $R_1(t);R_2(t)$, что

$(g_1(t);g_2(t))=(R_1(f_1(t));R_2(f_2(t)))$ для любого $t$

gris,
чудится какая-то неаккуратность в написанном: Вы исключили $g_1(t)=R_{1,2}(f_1(t),f_2(t))$, а почти всегда это так.
Ну и $R_1(t)$ --- аргумент типа время, а надо бы что-то обезличенное, ибо потом, в $R_1(f_1)$ --- аргумент типа координата у той же функции.
Так мне кажется.

[gris]

Согласен. Но в данном случае автор решает не учебную задачу, где надо давать абсолютно правильную подсказку. Он же пытается самостоятельно исследовать некоторую проблему, самостоятельно найти какое-то её решение. И нуждается просто в "разговорах на тему." Получив не совсем корректную, даже и неправильную подсказку, он её сам разовьёт, подправит и создаст что-то своё, оригинальное. А абсолютно правильная подсказка направит его уже по наезженному пути к уже имеющемуся решению. А оно ему надо?
Может я и ошибаюсь.

[e7e5]

Всего обычно насчитывают $11$ основных элементарных функций.
$f_i$, $i=1,2,...11$
Получается, что можно насчитать $A_{11}^{2}+11=121$ "теоретических" отображений $f_i$ элементарной функции с одной кривой на какую-то элементарную функцию на другой гладкой кривой, включая отображение $f_i$ в $f_i$ (сама в себя).

Чтобы понять, какие отображения возможны, все их перебирать придется ( для конкретного ур. связи отображения)?

Есть ли какой-то более общий подход в подобных случаях, какие есть идеи?