Больше чем распределение Пуассона

[druggist]

Построим наглядную картинку. Пусть дан прямоугольник разбитый на
M х N квадратиков, что-то вроде школьного тетрадного листа в клеточку. Высотой M и шириной N. Пусть по строкам таблички (горизонталям) "бегают" M частиц, одна на каждую горизонталь, независимо друг от друга. Если вероятность пребывания не зависит от положения, частица движется хаотически, то вероятность пребывания каждой частицы в одной из горизонтальных ячеек(клеточек) равна 1/N. Распределение Пуассона дает нам вероятность обнаружить m частиц в каком либо столбце(вертикали), оно одинаково для любого столбца. Если поменять стобцы местами, так чтобы слева был столбец с самым большим m, затем следующим по высоте и т.д.(т.е., "по Парето") получим кривую с "полочкой" (средним) и лишь в начале и в конце загибы в сторону больших и малых m (Проинтегрированное распределение Пуассона)

Теперь предположим, что по каждой горизонтали бегают не одна, а $n$ частиц. Они снова распределяются по горизонтали случайным образом и здесь возможно 2 случая, первый, частицы могут попадать в одну ячейку, т.е., движутся совершеннно независимо друг от друга, и второй, в одном квадратике может располагаться только одна частица(как костяшки на счетах) Допустим для простоты первый случай.
Снова нужно найти распределение для $m$ - числа частиц в столбце. Будет ли оно одинаковым для любого из N cтолбцов? Как будет выглядеть распределение по Парето в этом случае?

[PAV]

druggist в сообщении #250076 писал(а):

Распределение Пуассона дает нам вероятность обнаружить m частиц в каком либо столбце(вертикали), оно одинаково для любого столбца.

Неверно, это не распределение Пуассона, а биномиальное с параметрами $n=M$ и $p=\frac{1}{N}$.

-- Чт окт 08, 2009 17:36:15 --

Пуассон здесь может возникнуть только как предельный случай в ситуации когда $N\to\infty$, $M\to\infty$, $\frac{M}{N}\to\lambda=\mbox{const}$.

[druggist]

Ну да, при больших N и M возникает экспонента и следовательно Пуассон, но меня интересует, что из него получится (см. выше). Да, пусть M и N большие, забыл условие

[gris]

Зачем этот ваш прямоугольник нужен?
Мне кажется, в первом случае просто сумма $M$ дискретных случайных величин, распределённых на $\{0;1\}$ с вероятностями $N-1/N$ и $1/N$?
Во-втором то же самое, только величин $Mn$ штук (при условии неограниченного числа частиц в одной клетке).

[PAV]

Если речь идет только об одном столбце, тогда действительно прямоугольник ни к чему. Но затем ведь автор сортирует свои столбцы, а они зависимы в силу общего фиксированного числа частиц, так что тут уже понятно, зачем прямоугольник.

В первом случае когда $n$ частиц независимы, то никакого смысла в том, что они бегают по одной строке, вроде бы нет. То есть можно вместо $M$ строк рассмотреть $nM$ с одной частицей в каждой строке и этот случай ничем не отличается от исходного.

А вот условие с запретами действительно несколько отличается. Применительно к одному столбцу мы получаем то же биномиальное распределение, только вероятность обнаружить в столбце частицу будет вычисляться чуть более сложно. А вот что будет наблюдаться после упорядочения - это некоторый вопрос.

[druggist]

gris в сообщении #250089 писал(а):

с вероятностями $N-1/N$ и $1/N$?

Не понял, случайная величина равна 0 с вероятностью $p_0 = (1-1/N)$ и 1 вероятностью $p_1=1/N$ ? Конечно, это имелось в виду . А что вы имеете против наглядного образа?

Да действительно, случай когда n частиц независимо распределяются тривиален и сводится к рассмотренному. А что вы скажете, про случай, когда клетка может заниматься только одной частицей? Та же сумма M случайных дикретных величин, но с $p_0=1-n/N$ и $p_1=n/N$ ?

[PAV]

Да, для одного столбца именно так.

[gris]

Я не понял - что означает перестановка столбцов? Каких столбцов? В диаграмме плотности? Но это же совсем другие столбцы.
В случае ограниченности "ёмкости" ячеек, надо ещё ввести параметры минимального и максимального числа частиц в одной ячейке.

[druggist]

gris в сообщении #250110 писал(а):

Я не понял - что означает перестановка столбцов?

Рассмотрим мгновенный снимок картинки. В первом столбце таблички(прямоугольника) случайно окажется $m_1$ частиц, во втором $m_2$ частиц и так далее, в N-ом - $m_N$. Поставим на первое крайне левое положение столбец с максимальным $m$, и далее расположим стобцы по убыванию m. Очевидно, что в пределе больших M и N зависимость(убывающая) m от номера столбца в при таком упорядочении (по Парето) можно найти, проинтегрировав распределение Пуассона.

[druggist]

PAV в сообщении #250108 писал(а):

Да, для одного столбца именно так.

Это так для любого столбца. Только предельного перехода от биномиального распределения к пуассоновскому не получится, поскольку
$p_1=n/N=const$ при $N\to\infty$, $M\to\infty$, положим что n также растет, а плотность заполнения строки остается постоянной.
Вопрос в том, что за распределение получится при разных значениях параметра n/N, при всех ли значениях мы можем говорить о сушествовании среднего $m_0$ (в смысле среднего по столбцам) при $N\to\infty$, $M\to\infty$ ?