3 задачи по теории чисел

[rebel]

Добрый вечер!

Прошу помощи в решении следующих задач:

Задачи:
1.Пусть $$p_n$ - n-ое простое число. Доказать, что $\lim\limits_{n \to \infty} [\sigma($p_n+1)-\sigma($p_n)]=+\infty$.
2.Найти все $n \in \mathbb{N}$, для которых $\sigma(n)$ нечётно.
3.Доказать, что для каждого натурального числа $m$ существует такое $n$, что $\sigma(n)-\sigma(n-1)>m$ и $\sigma(n)-\sigma(n+1)>m$.

Спасибо!

[Бодигрим]

$\sigma(\cdot)$ - это сумма делителей?

1. Ответьте, пожалуйста, на следующие два вопроса. а) Чему равна сумма делителей простого числа? б) Как можно оценить снизу сумму делителей четного числа?

2. Сигма-функция - мультипликативная функция. Так что главное - это найти все числа вида $p^k$, для которых $\sigma(p^k)$ - нечетное число. Как выяснить четность/нечетность $\sigma(p^k)$ догадаетесь?

[rebel]

Бодигрим в сообщении #249630 писал(а):

$\sigma(\cdot)$ - это сумма делителей?

да, $\sigma(\cdot)$ - определяется как сумма делителей натурального числа.

Бодигрим в сообщении #249630 писал(а):

а) Чему равна сумма делителей простого числа?

сумма делителй простого числа будет равна само это число плюс 1

Бодигрим в сообщении #249630 писал(а):

б) Как можно оценить снизу сумму делителей четного числа?

неуверен, что знаю ответ

[ИСН]

Упростим вопрос. Какие делители совершенно точно есть у чётного числа?

[rebel]

ИСН в сообщении #249661 писал(а):

Упростим вопрос. Какие делители совершенно точно есть у чётного числа?

если так, то 1, 2 и само число.

[Trotil]

Маловато будет.

[rebel]

хм... мне кажется, что других для любого n-ого чётного числа быть не может.

[gris]

rebel писал(а):

если так, то 1, 2 и само число.

А какой делитель дополнителен к двойке?

[AKM]

Я знаю! $\dfrac{n}{2}\quad!$ Просто попробовал 10 --- а там и 5 вылезло, попробовал 72 --- а там 36! Вот только с четвёркой у меня этот номер как-то пока не проходит... "Опять двойка" получается...