2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Зачем делить на N! или 21-е разрешение парадокса Гиббса
Сообщение01.10.2009, 18:23 


27/02/09
2791
Число различных микросостояний для подсчета энтропии системы из $N$ классических не взаимодействующих частиц (классического идеального газа) обычно принимается равным $G^N$ , где $G$ - число (энергетических) состояний частицы, $N$ - число частиц. Очевидно, это выражение основано на том, что частицы различимы ( т.е., что их можно перенумеровать). Далее, исключительно для аддитивности или экстенсивности ( что в данном случае есть одно и то же) энтропии (т.е., логарифма числа микросостояний) это выражение делят на $N!$. Ниоткуда более это деление не следует... Это противоречие составляют основу так называемого парадокса Гиббса, чье классическое (общепринятое) разрешение дает квантовая механика...

Однако, некоторые не согласны с таким способом разрешения противоречия и придумали около 20-ти альтернативных способов разрешения данного парадокса (видимо, они испытывали личную неприязнь к квантовой физике:).

Не вдаваясь в исторический экскурс, перейдем к сути и предложим еще один 21-й способ...

Дело в том, что вроде бы очевидное выражение для числа микросостояний ($G^N$) вообще говоря не верно, или, вернее, верно в одном лишь экзотическом случае, а именно, когда в целом мире существуют только эти $N$ одинаковых (но, разумеется, различимых) частиц данного сорта. Более "реалистичное" предположение состоит в том, что в целом мире есть $N_0$ частиц данного сорта и что $N$ составляет малую часть от $N_0$, т.е., $ N_0 >> N$. Тогда для получения истинного (полного) числа микросостояний выражение "$G^N$" нужно умножить на:$$N_0! / ((N_0-N)!N!)$$ Дейстивительно, мы же не знаем, какие именно $N$ частиц помещены в нашу систему...

Аддитивность (она же экстенсивность) энтропии получается в пределе $N / No  -> 0$, сама же энтропия будет малой добавкой ($Ln(G^N/N!)$) к очень большой, но постоянной(!) величине $N_0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем делить на N! или 21-е разрешение парадокса Гиббса
Сообщение01.10.2009, 19:56 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
 !  Парджеттер:
Тема переносится из "Физики" в "Карантин" до исправления следующих нарушений:
- неиспользование нотации $\TeX$ для записи формул.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем делить на N! или 21-е разрешение парадокса Гиббса
Сообщение06.10.2009, 15:46 


10/03/07

473
Москва
druggist в сообщении #248160 писал(а):
Это противоречие составляют основу так называемого парадокса Гиббса
Ну, вообще-то, парадокс Гиббса --- это немного другое. Он заключается в том, что при смешивании двух разных газов, взятых при одинаковых давлениях и температурах, энтропия растет (на так называемую "энтропию смешивания"), а при смешивании двух порций одного и того же газа --- нет. Небезынтересно также отметить, что в своей монографии 1903 г. Гиббс сразу же и предложил разрешение этого парадокса (те самые факториалы в знаменателеи и именно с аддитивностью в качестве аргументации), а вот многие последующие компиляторы этого, видимо, не знали, и раздули "парадокс Гиббса" до невероятных размеров (даже Квасникова мне пришлось долго убеждать в том, что самому Гиббсу решение парадокса было известно).

Если переходить в статсумме к классическому пределу от квантовой механики, то факториалы появляются сами собой. В этом смысле можно сказать, что парадокс получил свое естественное разрешение в квантовой механике. Кстати, оттуда же приходит множитель $(2\pi\hbar)^{3N}$, обезразмеривающий интеграл по координатам-импульсам.

Парадокс имеет и чисто термодинамическое решение. Не нужно забывать, что для смеси двух газов энтропия зависит от двух переменных $N_1/V$ и $N_2/V$, а для смеси двух порций одного газа --- только от одной $N/V$.

из себя, любимого писал(а):
Название связано с задачей о смешивании двух газов (или двух порций одного и того же газа). Пусть в двух частях сосуда, разделенного жесткой адиабатической перегородкой находятся две порции газа. Перегородку вынимают. Нужно определить изменение энтропии к моменту установления равновесия.

Рассмотрим частный случай, когда температуры и давления по обе стороны перегородки в начальном состоянии одинаковы. Тогда они не изменятся и после вынимания перегородки. Если газы по разные стороны перегородки разные (наглядно можно представлять себе черные и белые молекулы), то произойдет перемешивание газов (смесь станет ``серой''). Если же газы одинаковы, то термодинамическое состояние вообще не изменится. Оказывается, что в первом случае энтропия смеси меняется, а во втором --- нет. Проследим это, используя только свойства аддитивности. Энтропия смеси газов зависит от трех переменных (температуру для краткости не пишем) $S(V,N_1,N_2)$, причем она аддитивна $S(\lambda V,\lambda N_1,\lambda N_2)=\lambda S(V,N_1,N_2)$. Чтобы давления в начальном состоянии по обе стороны были равны (при равной температуре), должны быть равны отношения $V_1/N_1=V_2/N_2=v$. Нетрудно проверить, что тому же равно отношение $(V_1+V_2)/(N_1+N_2)=v$. Начальная энтропия
$$
S(V_1,N_1,0)+S(V_2,0,N_2)=N_1 S(v,1,0)+N_2 S(v,0,1).
$$
Энтропия после перемешивания
$$
S(V_1+V_2,N_1,N_2) =(N_1+N_2)S\!\left(v,\frac{N_1}{N_1+N_2},\frac{N_2}{N_1+N_2}\right).
$$
Ясно, что эти выражения вовсе не равны друг другу. Для идеальных газов с совпадающими теплоемкостями и энтропийными постоянными разность как раз равна выписанной выше энтропии смешивания.

Пусть газы одинаковы. Тогда энтропия зависит всего от двух переменных $S(V,N)$ и аддитивна $S(\lambda V,\lambda N)=\lambda S(V,N)$. Начальная энтропия
$$
S(V_1,N_1)+S(V_2,N_2)=N_1S(v,1)+N_2S(v,1).
$$
Конечная энтропия
$$
S(V_1+V_2,N_1+N_2)=(N_1+N_2)S(v,1)
$$
совпадает с начальной.

Разрыв энтропии при переходе от смеси двух разных газов к ``смеси'' двух порций одного и того же газа получил название парадокс Гиббса. Внимательное изучение литературы показывает, что самому Гиббсу решение парадокса было прекрасно известно еще в 1903 г., но осталось, по всей видимости, неизвестным более поздним авторам.


Кстати, неравенство
$$
\frac{N_1}{N_1+N_2}S(v,1,0)+\frac{N_2}{N_1+N_2} S(v,0,1)\leq S\!\left(v,\frac{N_1}{N_1+N_2},\frac{N_2}{N_1+N_2}\right),
$$
следующее из возрастания энтропии при смешивании двух газов, подозрительно напоминает условие выпуклости ;)

Что касается предложенного вами рассуждения, то оно сразу встречает то возражение, что при рассмотрении конкретной системы нас не должно заботить, что там еще существует во Вселенной. В конце концов и в квантовой механике пишут волновую функцию для двух электронов, хотя их во Вселенной много больше и нужно антисимметризовать по перестановкам всех. Мне кажется, было бы продуктивнее не изобретать новых объяснений парадокса Гиббса, а попытаться разобраться в тех классических объяснениях, которые уже существуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем делить на N! или 21-е разрешение парадокса Гиббса
Сообщение06.10.2009, 16:57 


27/02/09
2791
peregoudov в сообщении #249503 писал(а):
Небезынтересно также отметить, что в своей монографии 1903 г. Гиббс сразу же и предложил разрешение этого парадокса (те самые факториалы в знаменателеи и именно с аддитивностью в качестве аргументации), а вот многие последующие компиляторы этого, видимо, не знали, и раздули "парадокс Гиббса" до невероятных размеров (даже Квасникова мне пришлось долго убеждать в том, что самому Гиббсу решение парадокса было известно).


Выделенное утверждение и есть противоречие, причем, вопиющее и кричащее :) , поскольку это есть подгонка под ответ (под то, что нужно доказать и показать из ясных и очевидных посылок, как и все в физике, в данном случае, аддитивность)

Как получается $G^N$ ? Имеется G "мест", в каждое из которых может быть помещена частица... Следующая частица также может быть размещена G способами и так далее, N частиц $G^N$ способами... И все!!! Нет никакого N! в знаменателе! :D
А вот при выводе статистик Бозе и Ферми (см ЛЛ5ч.1 стр. 188) именно и только чистая комбинаторика сама по себе дает аддитивность.


peregoudov в сообщении #249503 писал(а):
Что касается предложенного вами рассуждения, то оно сразу встречает то возражение, что при рассмотрении конкретной системы нас не должно заботить, что там еще существует во Вселенной.


Этот пассаж я не понял, энтропия определена с точностью до постоянного слагаемого, физ. смысл имеют изменения энтропии. Здесь главное, что логически ясно, откуда берется факториал в знаменателе выражения для числа различных (микро)состояний... Думаю, что другого объяснения для классических(различимых) частиц просто не существует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Parkhomuk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group