По определению...

[TOTAL]

Yarkin в сообщении #249132 писал(а):

$$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-\sqrt{1})(x+\sqrt{1})(x-\sqrt{-1})(x+\sqrt{-1})$$

Следовательно $(x^2-1) \ne (x-1)(x+1)$?

Объясните, как получили это "следовательно".

[Yarkin]

TOTAL в сообщении #249149 писал(а):

Объясните, как получили это "следовательно".

По теореме о разложении многочлена на множители. Этот ответ навряд ли Вас удовлетворит.

[ewert]

Yarkin в сообщении #249235 писал(а):

По теореме о разложении многочлена на множители. Этот ответ навряд ли Вас удовлетворит.

Да и вряд ли кого удовлетворит.

Собственно, Ваша мысль кристально ясна. Поскольку многочлен раскладывается на множители -- он на них не раскладывается, и равенство левой и правой части означает, разумеется, неравенство, откуда следует, что из неразложения следует разложение, как и наоборот.

Всё это совершенно очевидно, конечно. Непонятно лишь, что Вы всем этим хотели сказать.

[Yarkin]

ewert в сообщении #249321 писал(а):

Всё это совершенно очевидно, конечно. Непонятно лишь, что Вы всем этим хотели сказать.

Если моя мысль Вам "кристально ясна", тогда Вы знаете, что я хочу сказать. И я об этом говорил четко и ясно. Уравнение $x^4-1=0$ в области комплексных чисел имеет корни $(-\sqrt{1},\sqrt{1},-\sqrt{-1},\sqrt{-1})$, а в области действительных чисел корней не имеет. Поднимаемый мною вопрос весьма не простой. Определение арифметического значения корня неверно. Из-за этого определения математики потеряли промежуточную область чисел - между действительными и комплексными чмслами, а также трехмерные числа с коммутативными и ассоциативными операциями сложения и умножения.

[ewert]

Yarkin в сообщении #249349 писал(а):

а в области действительных чисел корней не имеет.

Свежая и оригинальная мысль.

[Yarkin]

ewert в сообщении #249396 писал(а):

Свежая и оригинальная мысль.

Осталось воплотить ее в реальность.

[TOTAL]

Yarkin в сообщении #249442 писал(а):

ewert в сообщении #249396 писал(а):

Свежая и оригинальная мысль.

Осталось воплотить ее в реальность.

Давайте воплощать. Возведите действительное число $1$ в четвертую степень. Сколько получится?

[bot]

Yarkin в сообщении #249349 писал(а):

Уравнение $x^4-1=0$ в области комплексных чисел имеет корни $(-\sqrt{1},\sqrt{1},-\sqrt{-1},\sqrt{-1})$, а в области действительных чисел корней не имеет.

Вы сами заблудили себя в двух соснах, хотите поблудить среди четырёх? Уравнение $x^4-1=0$ в области комплексных чисел имеет корни $1,\ -1,\ i, -i$, а в области действительных чисел ровно два: $1$ и $-1$.

Цитата:

Определение арифметического значения корня неверно.

Определения не бывают неверными - они бывают хорошими, плохими и отвратительными. Вы не дали вообще никакого. Какой смысл Вы вкладывает в закорючки $-\sqrt{1},\ \sqrt{1},\ -\sqrt{-1},\ \sqrt{-1}$ никому добиться от Вас не удалось.
Какой вопрос Вы поднимаете - одному господу Богу известен, впрочем и в последнем я не уверен.

[Yarkin]

bot в сообщении #249493 писал(а):

Yarkin в сообщении #249349 писал(а):

Какой смысл Вы вкладывает в закорючки $-\sqrt{1},\ \sqrt{1},\ -\sqrt{-1},\ \sqrt{-1}$ никому добиться от Вас не удалось.
Какой вопрос Вы поднимаете - одному господу Богу известен, впрочем и в последнем я не уверен.

Ответьте прямо - являются ли эти "закорючки" корнями уравнения $x^4-1=0$ или Вы считаете $ \sqrt{1}=1$? и обоснуйте свой ответ.

[bot]

На первую половину вопроса уже ответил, повторяю: я не знаю, что означают у Вас эти закорючки, а потому не могу знать - корни это или нет.
На вторую часть отвечаю аналогично, но подробнее, поскольку вижу всего "две сосны":
Что означает закорючка $\sqrt 1$ у Вас?
Возникают варианты:
1. Арифметическое значение корня квадратного из единицы. В этом случае $\sqrt 1=1$
2. Корень квадратный из единицы в поле комплексных чисел, то есть множество корней уравнения $x^2-1$ в этом поле. Тогда $\sqrt 1=\{1, \ -1\}$
А может быть сосен больше? Ну, тогда ещё вариант:
3. То, не знаю что. Тогда не знаю.

[Yarkin]

bot в сообщении #249682 писал(а):

Что означает закорючка $\sqrt 1$ у Вас?
Возникают варианты:
1. Арифметическое значение корня квадратного из единицы. В этом случае $\sqrt 1=1$
2. Корень квадратный из единицы в поле комплексных чисел, то есть множество корней уравнения $x^2-1$ в этом поле. Тогда $\sqrt 1=\{1, \ -1\}$
А может быть сосен больше? Ну, тогда ещё вариант:
3. То, не знаю что. Тогда не знаю.

Спасибо за более подробный ответ. Вы термин квадратный корень из числа $a,( \sqrt{a})$, при $a=1$ заменили на не математический термин "закорючки".
1. Нет, это не арифметический корень.
2.Написанное решение Вы не обосновали. Я не вижу связи между корнями $\sqrt 1$ и $\sqrt {-1}$ Если в Вашем решении вместо $1$ подставить $a$, то получим:$\sqrt a=\{a, \ -a\}$

[PAV]

Хорош, надоело. Тема закрывается по причине отсутствия четких определений, отсутствия нормальной постановки вопроса и очевидной неспособности автора темы и других участников форума понять друг друга.