Лотеря, как правильно посчитать вероятность

[Piramida]

Возник у нас спор. Кто то сомневается в Германии лотерея разыгрывается честно, якобы потому что джекпоты срываются слишком часто, каждые 4-5 розыгрыша. Я говорю что ничего особенного, веть играет 15-20 миллионов человек.

Если вероятность того что конкретный человек угадает 6 чисел из 49 = (1/49)^6 = 1/13.841.287.201.

Как правильно посчитать вероятность того что кто нибудь из 20 миллионов человек угадает 6 из 49 чисел?

Умножение 1/13.841.287.201 на 20 миллионов будет корректным?

[gris]

Нет, так нельзя. Посчитайте вероятность того, что никто не угадает все 6 чисел. Потом вычтите её из 1. Хотя при не очень большом числе участников результат будет примерно таким же. 20 млн слишком много...

[venco]

Во первых, вероятность одного угадывания:
$p_1 = \frac 1 {\binom{49}{6}} = \frac 1{13.983.816}$
Вероятность, что кто-нибудь из 20 миллионов человек угадает 6 из 49:
$1-(1-p_1)^{20.000.000} \approx 1-e^{- \frac {20.000.000}{\binom {49}{6}}} \approx 1-e^{-1,43} \approx 0,76$

[jetyb]

Стандартно.
6 чисел из 49 можно выбрать $C_{49}^6=13983816 $ способами
20 миллионов человек не угадают числа с вероятностью $\left(1-\frac{1}{C_{49}^4}\right)^{20000000}$.
Вычисления на калькуляторе показывают 76% вероятность хотя бы одного выигрыша.
Никаких приближений в данном случае не требуется.
Ваше приближение основывается на том, что
$\left(1-\frac{1}{x}\right)^N=\left(1-\frac{\frac{N}{x}}{N}\right)^N\approx e^{-\frac{N}{x}}\approx 1-\frac{N}{x}$,
и тоже применимо.
Не беспокойтесь за организаторов лотереи, в накладе не останутся. К тому же, если я правильно понимаю, в лотерее обычно разыгрывается только часть собранных денег.