Построение интегральных кривых

[trostewus]

Скоро контрольная по диффурам...решать уравнения - дело одно...а вот строить интегральные кривые - это нечто...препод объяснял на семинарах не ахти, а вот найти литературу с объяснением именно построения этих самых кривых мне не удалось...может кто-нибудь подскажет? Очень надо...

[V.V.]

Пусть задано уравнение $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$.

1. Находите изоклины нуля, решая уравнение $f(x,y)=0$.
2. Находите изоклины бесконечности, решая уравнение $1/f(x,y)=0$.
3. Рисуете эти кривые ручкой на плоскости $x0y$ и замечаете, что они делят всю плоскость на подобласти, в которых интегральные кривые возрастают (убывают). Это происходит, естественно, в зависимости от знака $f(x,y)$. Ставите в этих областях $+$ и $-$ соответственно.
4. Находите линию перегиба. Для этого надо решить уравнение $\frac{d^2y}{dx^2}=f_x+ff_y=0$. Рисуете эту линию на том же графике ручкой другого цвета расставляете на нем же $+$ и $-$ той же ручкой, в зависимости от того, функция выпукла вниз или вверх.
5. Берете ручку третьего цвета, ставите в произвольную точку и рисуете линию, которая должна возрастать (убывать) в зависимости от того, находится ли точка в области возрастания убывания; линия должна быть выпукла вверх (вниз) в зависимости от того, находится ли точка в областях выпуклости вверх (вниз); должна иметь горизонтальную касательную при пересечении изоклины нуля; должна иметь вертикальную касательную при пересечении изоклины бесконечности.
6. Повторяете пункт 5, меняя начальную точку, пока не удовлетворитесь нарисованной картинкой.

[Yu_K]

То VV. А почему именно ноль и бесконечность. Иногда удобно строить другие семейства $f(x,y)=C$, где $C$ отлична от нуля и бесконечности.
Еще пара вариантов для автономных систем, если все это у вас в плоскости (в принципе интегральные кривые можно и в пространствах большей размерности строить)
1) просто находите общее решение уравнения и строите семейство функций меняя константы (там будет две константы $x_0$ $y_0$), функции могут получиться неявные, тогда, как правило, нужно строть их линии уровня - они и будут представлять интегральные кривые
2) численно строите семейство интегральных кривых - например http://www.math.psu.edu/melvin/phase/newphase.html - очень хороший апплет, обрабатывает все простейшие функции


Ну и еще в принипе уравнения бывают и не автономные - а построить их интегральные кривые вас могут попросить.

[V.V.]

Yu_K, можно и другие изоклины строить, не спорю. Но поскольку ноль и бесконечность нужны для выделения областей возрастания и убывания, их надо в первую очередь.