Как вычислить этот интегралище

[LaraKroft]

Помогите, пожалуйста, не знаю как это можно вычислить:

Положим $n \in \mathbb{N}$ и \[\frac{{n\left( {n + 1} \right)}} {2} < t \in \mathbb{R}\[ Вычислите \[{I_n} = \int\limits_0^\infty {\frac{{\sin x\sin 2x \ldots \sin nx\sin tx}}{{{x^{n + 1}}}}dx} .\[

[jetyb]

Задача - гроб. Вот план решения:
Сперва представьте $I_n$ как сумму интегралов вида $\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin\alpha x}{x^{n+1}}dx$ и $\int\limits_0^{\infty}\frac{\cos\alpha x}{x^{n+1}}dx$ . Чтобы вычислить такой интеграл, откройте лекции на странице вычисления интеграла Дирихле $\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin\alpha x}{x}dx$ , в доказательстве замените $\alpha $на $\alpha^{n+1}$, воспользуйтесь равенством:
$\int\limits_0^{\infty}\frac{x^mdx}{(1+x^n)^p}=\frac{1}{n}B\left(\frac{m+1}{n},p-\frac{m+1}{n}\right), 0<\frac{m+1}{n}<p$
Решение очень лобовое, наверно, существует и более изящное.

[ИСН]

Такой интеграл расходится в нуле, а в остальном план прекрасный.

[LaraKroft]

Спасибо, но немного подробней, пожалуйста.
Хотя бы, скажите, если кто-то знает, какой должна получить ответ.

[RIP]

Я решал в лоб. Во-первых, после интегрирования по частям получаем
$I_n=\frac1{n!}\int_0^\infty{(\sin x\ldots\sin nx\sin tx)^{(n)}}\frac{dx}x.$
Воспользовавшись формулой Эйлера, имеем
$\sin x\ldots\sin nx\sin tx=\frac1{(2i)^{n+1}}\sum_{\epsilon_0,\ldots,\epsilon_n\in\{\pm1\}}\epsilon_0\ldots\epsilon_n\exp\Bigl(i(\epsilon_0t+\sum_{k=1}^nk\epsilon_k)x\Bigr),$
поэтому
$(\sin x\ldots\sin nx\sin tx)^{(n)}=$
$=\frac1{2^{n+1}i}\sum_{\epsilon_0,\ldots,\epsilon_n\in\{\pm1\}}\epsilon_0\ldots\epsilon_n(\epsilon_0t+\ldots+n\epsilon_n)^n\exp\bigl(i(\epsilon_0t+\ldots+n\epsilon_n)x\bigr)=$
$=\frac1{2^{n+1}}\sum_{\epsilon_0,\ldots,\epsilon_n\in\{\pm1\}}\epsilon_0\ldots\epsilon_n(\epsilon_0t+\ldots+n\epsilon_n)^n\sin\bigl((\epsilon_0t+\ldots+n\epsilon_n)x\bigr).$
После интегрирования получаем
$I_n=\frac\pi{2^{n+2}n!}\sum_{\epsilon_0,\ldots,\epsilon_n\in\{\pm1\}}\epsilon_1\ldots\epsilon_n(\epsilon_0t+\ldots+n\epsilon_n)^n.$
Если раскрыть скобки в $n$-й степени, то сумма распадётся на кучу сумм вида
$\sum_{\epsilon_0,\ldots,\epsilon_n\in\{\pm1\}}\epsilon_0^{k_0}\epsilon_1^{1+k_1}\ldots\epsilon_n^{1+k_n}$
с некоторыми коэффициентами, где $k_0+\ldots+k_n=n$. Очевидно, что все они равны 0, кроме той, где $k_0=0$, $k_1=\ldots=k_n=1$. Отсюда моментально получаем ответ.

А ещё можно по индукции доказать, что при $t_0,\ldots,t_n\in\mathbb R$, $t_0>|t_1|+\ldots+|t_n|$,
$\int_0^\infty\frac{\sin t_0x\sin t_1x\ldots\sin t_nx\,dx}{x^{n+1}}=(\pi/2)t_1\ldots t_n.$

[Gafield]

Почему это так, проще понять с помощью преобразования Фурье. Образом $\frac{\sin ax}x$ будет с точностью до константы характеристическая функция интервала $[-a,a]$. Произведению оригиналов соответствует свертка образов, а исходный интеграл равен значению свертки в нуле. Это проясняет смысл того, что $t_0$ должно быть достаточно большым. Тогда интервал $[-t_0,t_0]$ покрывает носитель свертки остальных сомножителей и в нуле свертка будет равна интегралу по прямой от свертки меньшего числа сомножителей, что равно произведению интегралов от характеристических функций интервалов $[-t_k,t_k]$ с точностью до константы.

[LaraKroft]

Спасибо за помощь! Буду разбираться.

Ответ, вроде бы, такой \[\frac{n!\pi}{2}\[ ??

Я правильно понимаю, что значение интеграла не зависит от $t$ ??

[RIP]

LaraKroft в сообщении #249406 писал(а):

Ответ, вроде бы, такой $\frac{n!\pi}{2}$ ??

Я правильно понимаю, что значение интеграла не зависит от $t$ ??

Да. Да.