По определению...

[PAV]

Yarkin в сообщении #248268 писал(а):

а получил исходя из определений.

Сформулируйте, пожалуйста, точные определения, которыми Вы пользовались.

[Circiter]

2Yarkin

Цитата:

Я их не написал, а получил исходя из определений. Если я ошибся, то укажите ошибку.

Если одним из определений является:

Цитата:

Отрицательное значение корня-соотношением $-\sqrt{1}=-1$

то тогда ошибка именно в нем и только в нем. И то, это не совсем ошибка, а просто неявный намек на использование арифметического корня. А так все правильно. Это ответ на ваш первоначальный вопрос?

[Yarkin]

PAV в сообщении #248283 писал(а):

Сформулируйте, пожалуйста, точные определения, которыми Вы пользовались.

Корнем $n$ степени из числа $a$ называется такое число $\alpha$, $n$- степень которого равна $a, (n\ge 2) $.
Арифметическим значением корня или арифметическим корнем $n$ степени из положительного числа $a$ называется положительное значение этого корня. Т. е. $\sqrt[n]{a}=\alpha$ есть арифметический корень, если $a\ge 0, \alpha \ge 0$ и $\alpha^n=a$.
Уранение $x^2=a$ равносильно уравнению $|x|=\sqrt{a}$, откуда, при $x<0$, находим $x_1=-\sqrt{a}$, а при $x>0$ находим $x_2=\sqrt{a}.$

Аналогичный вопрос Вам: выписать все корни уравнения $x^4-1=0$, согласно этих определений.

-- Пт окт 02, 2009 07:31:07 --

Circiter в сообщении #248334 писал(а):

это не совсем ошибка, а просто неявный намек на использование арифметического корня. А так все правильно. Это ответ на ваш первоначальный вопрос?

Да.

[ewert]

Yarkin в сообщении #248346 писал(а):

Аналогичный вопрос Вам: выписать все корни уравнения $x^4-1=0$, согласно этих определений.

Вовсе не аналогичный. Для начала: Вы смешиваете два понятия -- корень как операция и корень уравнения, а они (понятия) не вполне совпадают. Это для начала.

[PAV]

Yarkin в сообщении #248346 писал(а):

Аналогичный вопрос Вам: выписать все корни уравнения $x^4-1=0$, согласно этих определений.

Как справедливо заметил ewert, приведенные Вами определения к данному вопросу не относятся. Корнем уравнения называется число (более аккуратно - элемент того пространства, над которым задано уравнение), при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Вы написали уравнение, но не указали, над каким пространством будете его решать. Если в поле действительных чисел - то мы имеем два корня $1$ и $-1$. Если в поле комплексных чисел, то к ним еще добавляются $i$ и $-i$, и всего корней 4, как и должно быть согласно основной теореме алгебры.

Я ответил на вопрос?

[Yarkin]

ewert в сообщении #248350 писал(а):

Вы смешиваете два понятия -- корень как операция и корень уравнения, а они (понятия) не вполне совпадают.

Согласен с этим выводом. Эти оба понятия страдают одним и тем же недостатком. В обоих случаях учувствует единица – нейтральный элемент относительно операции умножения. Объявление его корнем и в том и в другом случае математически не обоснованно. Неопределенность равенств (1) и (2) возникает из-за этого.

-- Пт окт 02, 2009 18:13:15 --

PAV в сообщении #248359 писал(а):

Если в поле действительных чисел - то мы имеем два корня $1$ и $-1$. Если в поле комплексных чисел, то к ним еще добавляются $i$ и $-i$, и всего корней 4, как и должно быть согласно основной теореме алгебры.

Я ответил на вопрос?

Вполне. Только я считаю корнями этого уравнения в первом случае $ - \sqrt{1}$ и$\sqrt{1}$, а во втором случае к ним добавяться $-i$ и $i$. Наши корни совпадут, если равенства (1) и (2) считать верными.

[ewert]

Yarkin в сообщении #248492 писал(а):

Неопределенность равенств (1) и (2) возникает из-за этого.

Вовсе не из-за этого. А из-за того, что Вы зачем-то приплели свои (1) и (2) к $x^4-1=0$.

[Yarkin]

ewert в сообщении #248501 писал(а):

Yarkin в сообщении #248492 писал(а):

Неопределенность равенств (1) и (2) возникает из-за этого.

Вовсе не из-за этого. А из-за того, что Вы зачем-то приплели свои (1) и (2) к $x^4-1=0$.

Для уравнения ьожно их отбросить, а неопределенность останется.

[Yarkin]

PAV в сообщении #248359 писал(а):

Yarkin в сообщении #248346 писал(а):

Аналогичный вопрос Вам: выписать все корни уравнения $x^4-1=0$, согласно этих определений.

Если в поле действительных чисел - то мы имеем два корня $1$ и $-1$. Если в поле комплексных чисел, то к ним еще добавляются $i$ и $-i$, и всего корней 4, как и должно быть согласно основной теореме алгебры.

Корни $- \sqrt {1}$ и $\sqrt {1}$не противоречат определению решения, но принадлежат ли они области действительных чисел? А их наличие противоречит основной теореме алгебры. Кто-то из нас не прав.

[ewert]

Yarkin в сообщении #249023 писал(а):

Корни $- \sqrt {1}$ и $\sqrt {1}$не противоречат определению решения, но принадлежат ли они области действительных чисел? А их наличие противоречит основной теореме алгебры. Кто-то из нас не прав.

Вы не правы, причём даже трижды. Во-первых, основной теореме алгебры это уж никак не может противоречить, т.к. два всяко меньше четырёх. Во-вторых, в принадлежности (+1) и (-1) к вещественным числам сомневаться обычно не принято. А в-третьих -- не остроумно всё это, знаете ли.

[Yarkin]

ewert в сообщении #249025 писал(а):

Во-первых, основной теореме алгебры это уж никак не может противоречить, т.к. два всяко меньше четырёх.

Четыре корня в области действительных чисел?

ewert в сообщении #249025 писал(а):

Во-вторых, в принадлежности (+1) и (-1) к вещественным числам сомневаться обычно не принято.

Речь идет не об этих корнях, а о корнях $-\sqrt{1}$ и $\sqrt{1}$

ewert в сообщении #249025 писал(а):

А в-третьих -- не остроумно всё это, знаете ли

Этим не занимаюсь.

[ewert]

Yarkin в сообщении #249078 писал(а):

Этим не занимаюсь.

Тогда и совсем уж непонятно, зачем.

[Yarkin]

ewert в сообщении #249080 писал(а):

Тогда и совсем уж непонятно, зачем.

Уход от математической дискуссии.

[ewert]

Yarkin в сообщении #249083 писал(а):

Уход от математической дискуссии.

Это-то понятно. Непонятно только, зачем Вам это понадобилось.

[Yarkin]

ewert в сообщении #249084 писал(а):

Непонятно только, зачем Вам это понадобилось.

Хотя бы для этого:

$$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-\sqrt{1})(x+\sqrt{1})(x-\sqrt{-1})(x+\sqrt{-1})$$

Следовательно $(x^2-1) \ne (x-1)(x+1)$?