Доказать что рекуррентная последовательность ограничена?

[Алексей К.]

gris в сообщении #249044 писал(а):

А индукция -у ИСН самая настоящая.

Видимо, он моё подсознание и навёл. На ограниченность ${}<2$, про монотонность не думал.

[jetyb]

gris в сообщении #249035 писал(а):

Если выписать члены последовательности подряд
$\sqrt {2}$
$\sqrt {2+\sqrt {2}}$
$\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2}}}$
$\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2}}}}$
$\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2}}}}}$

Можно даже найти предел этой последовательности $x_{\infty}$ из уравнения
$x_{\infty}^2=2+x_{\infty}$

[gris]

ИСН писал(а):

явная формула через косинусы

$x_1=2\cos(\pi/4)$
Пусть $x_n=2\cos a$ и $x_{n-1}=2\cos b$
Тогда $2\cos^2a=1+\cos b \Longrightarrow a=b/2$
То есть $x_n=2\cos \cfrac {\pi}{2n}\leqslant 2$

Извините за флуд - от скуки...

[ИС]

gris
фигасе =)
красиво !

[ewert]

Это был не столько gris, сколько ИСН,

ИСН в сообщении #249036 писал(а):

, но это неважно.

[gris]

ewert, я честное слово нигде не подсматривал!!!

Знал ведь, что Вы придерётесь. Уж и на ИСН сослался, и за флуд извинился, но никак Вам не угодишь...