Прием "симметризации", теорвер

[id]

Из теоремы Колмогорова следует, что для данной последовательности функций распределения существует вероятностное пространство и последовательность независимых случайных величин на нем с данными функциями распределения.

Но часто используется более жесткий вариант, а именно - для данной последовательности ( возможно зависимых ) случайных величин на некотором $(\Omega,\mathcal{F},P)$ построить последовательность независимых случайных величин с теми же функциями распределения на том же пространстве.

У Ширяева просто сказано, что это так, если пространство достаточно "богатое". Однако, как бы это строго доказать? ( ссылки на литературу принимаются )

[--mS--]

Это скорее тривиальный факт. Например, имея достаточно богатое в.п. в виде отрезка $[0,\,1]$ с борелевской сигма-алгеброй и мерой Лебега, можно на нём построить последовательность независимых с.в. с любыми заданными распределениями. А "симметризация" тут где?

[id]

Вот меня как раз и интересует, что значит "достаточно богатое", и каким образом предполагается строить? По типу перестановки? ( Перестановкой неотрицательной функции из $S(0,\infty)$ называется убывающая непрерывная слева функция $x^* (t)$, равноизмеримая с $x(t)$; которую можно задавать так: $x^* (t) = inf\{ \tau: n_x (\tau) < t\}, n_x(\tau) = \mu \{t: x(t) > \tau \}$)

[--mS--]

В теории вероятностей это называется квантильным преобразованием.

Как строить? Например, для $\Omega=[0,\,1]$ взять цифры двоичного разложения числа $\omega=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{\omega_i}{2^i}$, распределить их между счётным числом последовательностей $\omega_i^{(n)},\,n=1,2,\ldots$, из каждой последовательности снова собрать число из $[0,\,1]$ как $\xi^{(n)}(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{\omega_i^{(n)}}{2^i}$. Получили последовательность независимых с.в. с равномерным распределением. Из них квантильным преобразованием строим величины с нужным распределением. Главное - иметь "достаточно богатое вероятностное пространство"

[Хорхе]

"Достаточное богатство" = отсутствие атомов.