Немного о двойных интегралах... Помогите, пожалуйста!!! ((

[Nadilka]

Даны два двойных интеграла. Области интегрирования одинаковые, но симметрично противоположные относительно оси ОY. Подынтегральная функция одна и та же общего вида (т.е. ни четна, ни нечетна). Равны они или нет?..

[gris]

Они не обязаны быть равными.
Что такое чётная функция двух переменных?

[Nadilka]

Я понимаю, что функция U(x,y) - четная, если U(-x,-y)=U(x,y) (по аналогии с определением четности функции одной переменной).


Точно!!! Надо же замену переменных сделать на переменные противоположные им по знаку!!! Там и пределы интегрирования поменяются!!!

спасибо большое!!! ))

[gris]

Ну мне кажется, что для функций двух переменнх не определяется чётность и нечётность. Разве что по каждой переменной в отдельности.
Да не в этом дело. Вы попробуйте построить контрпример. Пусть первая область интегрирования лежит целиком по одну сторону от оси $Y$, тогда вторая будет лежать по другую. А функцию возьмём такую$f(x;y)=x$.
Тогда один из интегралов будет отрицательным, а второй положительным.

[ewert]

Nadilka в сообщении #248380 писал(а):

Подынтегральная функция одна и та же общего вида (т.е. ни четна, ни нечетна).

"Общего вида" -- это значит, что значения функции в левой полуплоскасти никак не связаны с её значениями в правой. Соответственно и интегралы.

-- Пт окт 02, 2009 13:04:28 --

gris в сообщении #248385 писал(а):

Пусть первая область интегрирования лежит целиком по одну сторону от оси $Y$, тогда вторая будет лежать по другую. А функцию возьмём такую$f(x;y)=y$.
Тогда один из интегралов будет отрицательным, а второй положительным.

Тогда интегралы совпадут в силу чётности функции (по иксам).

[gris]

Не успел исправить
Хотелось бы обойтись без скобок, ну да ладно
$f(x;y)= \left\{ \begin{array}{ll} x+2y^2,&x>0\\ 2x-y^2,&x<0 \end{array} \right. $

[Nadilka]

Видимо, именно поэтому я определения четности и нечетности функции двух переменных, как такового, и не встречала... ))
Внешний интеграл по dy. Я его и не трогала. В двух интегралах его пределы совпадать будут, т.к. области симметричны относительно OY.
Работа ведется с внутренним интегралом.
В общем виде сделала замену переменной x на противоположную по знаку, а дальше дело техники: у пределов интегрирования минусы стали плюсами (опять же в силу симметричности области), под дифференциалом -x, чей минус вытаскиваем за пределы интегрирования, а далее свойство определенных интегралов, когда верхний предел становится нижним, а нижний верхним, а перед интегралом ставится минус... Минус на минус - это плюс!!! ))
Таким образом получились два интеграла, у которых полностью совпадают пределы интегрирования как внешние, так и внутренние, только у первого подынтегральная функция f(-x,y), а у второго f(x,y).
Т.е. равенство только тогда, когда f(-x,y)=f(x,y). Во всех других случаях - облом...
В качестве контрпримера берем любую функцию, которая этому условию не удовлетворяет. Например, f(x,y)=x+1. И т.п. и т.д.
Спасибо еще раз!!!

[gris]

Nadilka писал(а):

Т.е. равенство только тогда, когда f(-x,y)=f(x,y). Во всех других случаях - облом...

Насчёт "только тогда" - это неверно. Для некоторых функций самого общего вида на некоторых областях интегралы вполне могут быть равными.

[Nadilka]

Да, может быть и согласна...
Но требую пример в доказательство!!! ))

[gris]

$f(x;y)= \left\{ \begin{array}{ll} \sin x,&x\geqslant 0\\ \sin2x,&x<0 \end{array} \right. $

Первая область интегрирования - любой прямоугольник $(a;a+2\pi n)\times(b;c), an>0$

[ewert]

Зачем такие сложности?... Просто $f(x,y)=1+x-\alpha x^3$. Для любой симметричной области берём $\alpha$ как отношение интеграла от $x$ к интегралу от $x^3$ по половине области...

[Nadilka]

[/quote]
"Общего вида" -- это значит, что значения функции в левой полуплоскасти никак не связаны с её значениями в правой. Соответственно и интегралы.

-- Пт окт 02, 2009 13:04:28 --

Прикольно!!!


Спасибо ewert и gris большое!!! Очень было приятно пообщаться!!!

[gris]

А можно просто обнулять любую функцию на объединении областей интегрирования.