Найти управление

[alleut]

Требуется найти управление u(t). Думаю, что должно сводиться к линейной системе, но как - не могу найти.
$ \left\{ \begin{array}{l} \dot x_1 = u\\ \dot x_2 =x_1u-x_2^2, \end{array} \right. $
$x_0:=x(0)=(1 1)^T$
$x_1:=x(T)=(2 2)^T$
$T=2$

[V.V.]

Вам какое-нибудь допустимое управление надо?

Или есть скрытый от нас критерий оптимальности?

[alleut]

Нет, всё условие задачи выше. Так сказать "просто управление", т.е. никаких ограничений вроде u(t)>0 нет.

[V.V.]

В общем, я сделал несколько криво, формулы получились ужасные, поэтому расскажу здесь только идею.

Заметим, что второе уравнение можно переписать в виде
$\dot{x}_2+x^2_2=x_1\dot{x}_1$,
$\dot{x}_2+x^2_2=\frac{1}{2}\dot{x_1^2}$.

Понятно, что если мы подставим какой-нибудь $x_2$, то в дальнейшем сможем легко получить $x_1$, а из него $u$.

Надо запастись параметрами, чтобы удовлетворить аж четырем краевым условиям. Поэтому будем искать в виде, например, таком:
$x_2=t^3+at^2+bt+c$.
Два из трех параметра "убъются", когда мы будем пытаться удовлетворить условиям $x_2(0)=1$, $x_2(2)=2$.

Теперь найдем $x_1^2$. Понятно, что как следствия из условий для $x_1$ получаем $x_1^2(0)=1$, $x_1^2(2)=4$. Ну, интегрируем. Постоянной интегрирования "убиваем" первое условие, с помощью оставшегося параметра из $x_2$ "убиваем" второе условие. Осталось извлечь корень из $x_1$ и продифференцировать.

[alleut]

подход конечно интересный, но вряд ли оптимальный. можно представить $x_2$ в виде тригонометрического полинома, например.
не легче от этого, в общем.

[V.V.]

alleut, я же не зря уточнил Ваш вопрос. О том, какое нужно управление: абы какое допустимое или же оптимальное по некоторому критерию.