Задача встретилась в связи с некоторой непростой матфизикой.
Пусть

- вещественная измеримая функция на интервале

. Рассматривается последовательность интегралов

. Вопрос. Насколько быстро такая последовательность может стремиться к нулю при

? Легко видно, что если функция неотрицательная и не тождественный ноль, то последовательность не может стремиться к нулю быстрее, чем экспоненциально (возьмите для иллюстрации характеристичекую функцию интервала

). Но непонятно, можно ли подобрать знакопеременную функцию так, чтобы положительные и отрицательные куски друг друга как-то компенсировали, и последовалельность стремилась бы к нулю быстрее, скажем, как

?
-- Пн сен 21, 2009 17:23:44 --мне удалось доказать, что, на самом деле, убывание как в первом посте, и даже помедленнее,

для всех

невозможно. Подожду недельку-другую с публикацией доказательства на случай, если кто захочет свои силы испытать. Но более сложный вопрос тогда вырисовывается.
Пусть

измеримая ограниченная вещественная функция в круге

, в полярных координатах

. Вопрос. Насколько быстро могут стремиться к нулю
интегралы

при

? Хотелось бы иметь аналог результата, имеющегося для радиальной функции.