Задача про НОД

[maxmatem]

$f(x)=(x+1)(x^{2}+1)(x^{3}+1)(x^{4}+1)$
$g(x)=(x-1)(x^{2}-1)(x^{3}-1)(x^{4}-1)$
надо найти $ NOD(f(x);g(x))$
мне кажется в лоб делать это не метод, здесь какая-то хитрость, но какая понять не могу!

[gris]

Хитрость в том, чтобы разложить каждое выражение в произведение неразложимых многочленов первой и второй степени.
Скажем - доразложить.

[maxmatem]

ну скажем, $g(x)$ я разложу без проблем, а с $f(x)$ возникнут проблемы...

[gris]

Какие там проблемы? Разность кубов? Квадратов?
Можно, конечно, выписать все комплексные корни и по ним посчитать, но напрямую проще.

[maxmatem]

$g(x)=(x-1)^{5}(x+1)(x^{2}+x+1)^{2}(x^{3}+x^{2}+x+1)$
а $f(x)$ надо разложить?

[gris]

Первой и второй степени.
$x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1)$

[Cave]

$x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=\ldots$

[maxmatem]

$g(x)=(x-1)^{5}(x+1)^{2}(x^{2}+x+1)^{2}(x^{2}+1)$

[gris]

Ну $x^4+1$ можно не раскладывать. Видно, что там нет общих сомножителей.

[maxmatem]

я $g(x)$ верно разложил?
$f(x)=(x+1)^{4}(x+1)^{2}(x+1)(x^{2}-x+1)$

[gris]

Неправильно. Откуда там пятая степень и трёхчлен в квадрате?
Для $f$ потеряяяяяли квадрат в третьей скобке. $(x^2+1)$

[maxmatem]

$g(x)=(x-1)(x^{2}-1)(x^{3}-1)(x^{4}-1)$
$(x^{2}-1)=(x-1)(x+1)$
$(x^{3}-1)=(x-1)(x^{2}+x+1)$
$(x^{4}-1)=(x^{2}+1)(x+1)(x-1)}$
верно?
$g(x)=(x-1)^{4}(x+1)^{2}(x^{2}+x+1)(x^{2}+1)$
$f(x)=(x^{4}+1)(x+1)^{4}(x+1)^{2}(x^{2}+1)(x^{2}-x+1)$

[gris]

Верно. И у $g$ потеряли $(x^2+1)$

[maxmatem]

извиняюсь за рассеяность, на бумаги верно написал а на компьютере..
$NOD(f;g)=(x+1)^{2}(x^{2}+1)$

[gris]

Правильно. Но у $f$ потеряли $(x^4+1)$, что не влияет. Вы такой рассеянный сегодня!