формула Коши для матричного линейного уравнения

[g-a-m-m-a]

Как вывести или где найти?

[V.V.]

g-a-m-m-a в сообщении #246149 писал(а):

Как вывести или где найти?

http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf
Стр125.

[g-a-m-m-a]

V.V.,да уж там весьма не исчерпывающая информация((

[V.V.]

g-a-m-m-a в сообщении #246272 писал(а):

V.V.,да уж там весьма не исчерпывающая информация((

Ну, вывод там написан. Доказательство, что все решения определены формулой Коши, - тоже.
Что еще надо?

[ewert]

g-a-m-m-a в сообщении #246272 писал(а):

V.V.,да уж там весьма не исчерпывающая информация((

Не исчерпывающая -- только в том случае, если Вам нужен явный вид разрешающей матрицы. Пожалуйста: $X(t)=e^{tA}$. Это в случае, если матрица $A$ постоянна. А если она переменна -- то ничего более конкретного и не скажешь. (Разве что в периодическом случае можно указать кое-какие важные дополнительные её свойства.)

[g-a-m-m-a]

собственно нужно для уравнения
$\begin{cases}\dot P=PA'+AP+Q,\\ P(t_0)=L. \end{cases}$
$A, Q-$переменные матрицы.

[V.V.]

Ну, можно показать, что общее решение Вашего уравнения представимо в виде
$P=Y(t)CZ(t)+X(t)$, где
$Y(t)$ - решение системы $\dot{P}=AP$, а $Z(t)$ - решение системы $\dot{P}=PA'$.

Для получения формулы Коши сделаем всё аналогично тому, что делали для системы $\dot{P}=AP$.

Будем искать решение в виде $P(t)=Y(t)C(t)Z(t)$. Подставим это выражение в систему, получим
$\dot{Y}CZ+Y\dot{C}Z+YC\dot{Z}=A(t)YCZ+YCZA'(t)+Q(t)$.
Из этого получаем, что $Y(t)\dot{C}(t)Z(t)=Q(t)$ и, соответственно,
$C(t)=\int\limits_{t_0}^t Y^{-1}(s)Q(s)Z^{-1}(s)\,ds$.

Подставляя найденное $C(t)$ в формулу $P(t)=Y(t)C(t)Z(t)$, получаем
$X(t)=Y(t)\int\limits_{t_0}^t Y^{-1}(s)Q(s)Z^{-1}(s)\,ds Z(t)=\int\limits_{t_0}^t K(t,s)Q(s)L(t,s)\,ds$,
где
$K(t,s)=Y(t)Y^{-1}(s)$ - матрица Коши системы $\dot{P}=AP$,
$L(t,s)=Z^{-1}(s)Z(t)$ - матрица Коши системы $\dot{P}=PA'$.

Следовательно, общее решение нашей неоднородной системы можно представить в виде
$P(t)=Y(t)CZ(t)+\int\limits_{t_0}^t K(t,s)Q(s)L(t,s)\,ds$,
где $C$ - произвольная постоянная матрица.

Если же надо решить задачу Коши $P(t_0)=P_0$, то, очевидно, ее решение находится по формуле
$P(t)=K(t,t_0)P_0L(t,t_0)+\int\limits_{t_0}^t K(t,s)Q(s)L(t,s)\,ds$.

Вот так.

P.S. А Вы с мехмата какого университета?

[g-a-m-m-a]

Спасибо))

V.V. в сообщении #247889 писал(а):

P.S. А Вы с мехмата какого университета?

А почему интересуетесь?