Множество экстремумов

[jetyb]

xaxa3217 в сообщении #246930 писал(а):

множество точек строгих локальных экстремумов непрерывной на отрезке функции счетно?

Для каждого экстремума найдется непересекающаяся с остальными окрестность, в каждой окрестности найдется рациональное число, а множество рациональных чисел счетно.

[Maslov]

jetyb в сообщении #247006 писал(а):

Для каждого экстремума найдется непересекающаяся с остальными окрестность,

Это не так (см. предыдущее обсуждение). Как писал ewert, можно предложить контрпример, в котором каждая окрестность строгого локального экстремума содержит другие строгие локальные экстремумы.

[Sasha2]

Даже если это и не так, то все равно в этих даже и пересекающихся окрестностях всегда можно взять ДВА РАЗЛИЧНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЛА, а СЛЕДОВАТЕЛЬНО И СКОЛЬКО УГОДНО.

[Maslov]

Sasha2 в сообщении #247018 писал(а):

Даже если это и не так, то все равно в этих даже и пересекающихся окрестностях всегда можно взять ДВА РАЗЛИЧНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЛА, а СЛЕДОВАТЕЛЬНО И СКОЛЬКО УГОДНО.

А дальше по накатанной дорожке доказываем счетность множества действительных чисел - каждому действительному числу сопоставляем окрестность, содержащую рациональную точку, и вперед.

[Someone]

Maslov в сообщении #247008 писал(а):

Как писал ewert, можно предложить контрпример, в котором каждая окрестность строгого локального экстремума содержит другие строгие локальные экстремумы.

Но явного примера так никто и не указал.

$$f(x)=\begin{cases}0\text{ при }x=0\text{,}\\x^2\left(2+\sin\frac 1x\right)\text{ при }x\neq 0\text{.}\end{cases}$$

Sasha2 в сообщении #247018 писал(а):

Даже если это и не так, то все равно в этих даже и пересекающихся окрестностях всегда можно взять ДВА РАЗЛИЧНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЛА, а СЛЕДОВАТЕЛЬНО И СКОЛЬКО УГОДНО.

Это не гарантирует того, что различным экстремумам будут соответствовать различные наборы рациональных чисел. Следует брать два рациональных числа по разные стороны от экстремума. Под окрестностью точки понимаем интервал, содержащий данную точку.

[ИСН]

Тот же прикол, что с восьмёрками на плоскости, короче.

[Maslov]

Someone в сообщении #247022 писал(а):

Следует брать два рациональных числа по разные стороны от экстремума.

А как при этом доказать, что различным экстремумам будут соответствовать различные пары рациональных чисел?

[Sasha2]

На самом деле, если $x_0$ точка локального экстремума (пусть ради определенности минимума) непрерывной функции, то существует окрестность такая, в которой слева функция $f(x)$ не возрастает, а справа не убывает.
В самом деле, если это не так, то, например справа от $x_0$ найдутся две точки $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_2<x_1$, но тем не менее $f(x_2)>{f(x_1)}$.
А значит легко построить и непресекающиеся окрестности таких точек, где это выполняется.
Далее строим последовательность ВОЗРАСТАЮЩУЮ, которая сходится к минимуму, чего не может быть.
Таким образом изначальный посыл, что в окрестности точки локального минимума непрерывной функции найдется сколько угодно экстремумов, мне кажется неверным.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #247046 писал(а):

Далее строим последовательность ВОЗРАСТАЮЩУЮ,

Как именно?... Вы гарантируете лишь наличие сколь угодно близких "неправильных" пар, но между собой эти пары вовсе не обязаны быть согласованными.

[Someone]

Sasha2 в сообщении #247046 писал(а):

На самом деле, если $x_0$ точка локального экстремума (пусть ради определенности минимума) непрерывной функции, то существует окрестность такая, в которой слева функция $f(x)$ не возрастает, а справа не убывает.

Неверно. Контрпример: http://dxdy.ru/post247022.html#p247022.

-- Пн сен 28, 2009 22:19:20 --

Maslov в сообщении #247036 писал(а):

Someone в сообщении #247022 писал(а):

Следует брать два рациональных числа по разные стороны от экстремума.

А как при этом доказать, что различным экстремумам будут соответствовать различные пары рациональных чисел?

А и правда дырка в рассуждении. Нужно отдельно доказать не более чем счётность множества локальных максимумов и множества локальных минимумов. Тогда всё хорошо должно быть.

[gris]

Вспоминая зимнюю задачу, позволю себе процитировать нечто:

ewert в сообщении #187275 писал(а):

Юстас в сообщении #187265 писал(а):

Ясно, что множеством локальных экстремумов может быть, например, множество Кантора.

Нет, не может. Поскольку в этой (вяло)текущей задаче речь о строгих локальных максимумах, а их количество, действительно, не более чем счётно -- для любой функции вообще.

Доказательство довольно стандартно. Окружим каждую точку строгого локального максимума произвольной симметричной окрестностью, в пределах которой значения функции строго меньше, чем в центре. Разобьём всё множество этих экстремумов на непересекающиеся классы следующим образом: отнесём к $k$-тому классу все точки, для которых длины выбранных окрестностей лежат в $[2^{-k};2^{-k+1})$. Для любых двух точек из данного класса расстояние между ними не может оказаться меньше, чем $2^{-k-1}$: в противном случае каждая из точек попадёт в окрестность другой, а хотя бы одно из этих двух включений невозможно. Следовательно, количество точек экстремума в каждом классе не более чем конечно. Ну а по всей совокупности классов -- не более чем счётно.

[Maslov]

gris в сообщении #247322 писал(а):

Вспоминая зимнюю задачу, позволю себе процитировать нечто:

ewert в сообщении #187275 писал(а):

...
Доказательство довольно стандартно...

ewert, в этой почтительной тишине осмелюсь спросить: а откуда берутся такие "стандартные" доказательства? Таким способом что, ещё много чего доказывается?

[gris]

Доказательство уважаемого непроизносимого просто идейно, оттого и естественно, следовательно, стандартно. Для того, чтобы доказать счётность какого-либо множества, часто находят способ разбиения его на счётное число конечных подмножеств. В определении строгого экстремума участвует окрестность. У окрестности есть длина. Длина конечного объединения непересекающихся интервалов равна их сумме длин. Из двух чисел только одно может быть строго больше другого. Вот из таких кирпичиков мастер возводит свой храм. А бывает ещё использует теорему о конечном покрытии.