Функциональное уравнение Коши

[BanmaN]

Здрасте.

Огласите, пожалуйста, кто-нибудь весь список условий, при которых уравнение Коши ($f(x+y)=f(x)+f(y)$) становится прямой.
(Например, я знаю монотонность и инъективность, но уверен, что это не всё)

Спасибо

P.S. wiki выдаёт только 3 результата.

[Cave]

Всех тоже не скажу, ибо непонятно, что есть список всех условий.
Точно достаточно непрерывности в любой точке (думаю, что и существования предела в точке достаточно), ограниченности на любом интервале, сохранения знака аргумента.

[BanmaN]

Список всех условий это всё то, что вы знаете по этому поводу

А что такое "сохранение знака аргумента"?

[Cave]

$f(x) > 0 \Leftrightarrow x > 0$.

[Юстас]

Измеримости достаточно.

[Edward_Tur]

Рассмотрим уравнение (Украинская олимпиада, 2006):
$R \to R$, $f(x^3+y^3)=x^2f(x)+yf(y^2)$.

С одной стороны, из него легко получаем $f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3)$, что эквивалентно функциональному уравнению Коши, а с другой стороны, поигравшись немного с подстановками, получим ответ: $f(x)=cx$.
Таким образом, г-н BanmaN, в списке условий должно быть и исходное уравнение?!

[nn910]

Edward_Tur в сообщении #247166 писал(а):

Рассмотрим уравнение (Украинская олимпиада, 2006):
$R \to R$, $f(x^3+y^3)=x^2f(x)+yf(y^2)$.

С одной стороны, из него легко получаем $f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3)$, что эквивалентно функциональному уравнению Коши, а с другой стороны, поигравшись немного с подстановками, получим ответ: $f(x)=cx$.

В Википедии все-таки есть пример функции со всюду плотным на плоскости графиком( строится с помощью аксиомы выбора) -альтернативного решения уравнения Коши. Таким образом Вы подкинули еще уравнение,либо имеющее альтернативные решения, либо не эквивалентное Ф.у.К. Интересно бы и в нем разобраться

[BanmaN]

Да, Edward_Tur, спасибо.

Я имел ввиду не совсем то, что написал, просто хочется знать по максимуму условия, если что ещё есть-пишите.

[Edward_Tur]

IMO 2002:
$R \to R$, $(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$.
В решении есть переход от рационального аргумента к вещественному.

[Mikhail Sokolov]

Есть результат о том, что график (т.е. множество пар точек вида $(x,f(x))$, $x\in R$) любого нелинейного решения $f$ уравнения Коши всюду плотен в $R^2$. Отсюду сразу следует, что непрерывности в точке, монотонности или ограниченности достаточно для линейности.