Задача про электрон, "падающий" на ядро

[t3rmin41]

Условие задачи:

"Через сколько времени электрон, вращающийся по круговой орбите, радиус которой $R=0,053$ нм, упадёт на ядро из-за ЭМ излучения, если была бы правильна классическая теория? Считать, что центростремительное ускорение, несмотря на движение по спирали, $a=\frac{v^2}{R}$. (т.е. радуис постоянный)".

Я решал и вот что у меня получилось, хотел бы чтоб кто-нибудь проверил:

Мощность излучения ЭМ волн:

$\frac{dW}{dt}=\frac{-2 e^2}{3c^3}(\frac{dv}{dt})^2 $

$a=\frac{v^2}{R}; a^2=\frac{v^4}{R^2}; R=vt, R^2=v^2 \cdot t^2; a^2=\frac{v^2}{t^2}

Изменение кинетической энергии:

$\Delta E_k=\frac{m_e v^2}{2}$

Тогда:

$\Delta E_k = \frac{m_e v^2}{2}= \int dW= \int \frac{2 e^2 v^2}{3 c^3 t^2}dt=-\frac{2 e^2 v^2 t^{-1}}{3 c^3}$

Получаем:

$t=\frac{4 e^2}{m_e 3c^3}$

У меня почему-то сократился радиус орбиты. Наверно, где-то ошибка (или он и должен был сократиться?), которую я не нахожу.

[Maslov]

t3rmin41 в сообщении #246901 писал(а):

R=vt$

Стесняюсь спросить: а это откуда? Он что, по радиусу (а не спирали) на ядро падает?

[t3rmin41]

Хорошо, но если решать так:

$\Delta E_k = \frac{m_e v^2}{2}= \int dW= \int \frac{2 e^2 v^4}{3 c^3 R^2}dt=-\frac{2 e^2 v^4 t}{3 c^3 R^2}$

тогда не сокращается квадрат скорости $v^2$, который неизвестен

$t=\frac{m_e 3c^3 R^2}{4 e^2 v^2}$

[Maslov]

А заряд ядра-то какой? Имеется в виду атом водорода?

[t3rmin41]

Вообще-то не сказано. Допустим, водорода. И что?

[Maslov]

Для начала можно записать выражение для полной энергии электрона, движущегося в кулоновском поле ядра.
Затем приравнять скорость изменения этой полной энергии к мощности излучения - получится дифференциальное уравнение.
А затем надо попытаться это уравнение проинтегрировать.

[t3rmin41]

Maslov, а поконкретнее?

-- Вс сен 27, 2009 21:19:42 --

Цитата:

Затем приравнять скорость изменения этой полной энергии

т.е. ещё придётся дифференциоровать энергию? не кажется ли вам, что это слишком трудоёмкий путь?
Мне кажется, тут можно сделать гораздо проще.

Вообще, попробовал сделать по вашему методу:

Полная энергия электрона:
$E=-\frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0 R}$

Дифференциируем:

$\frac{dE}{dt}=\frac{dE}{dr} \frac{dr}{dt}= \frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0 R^2} v$ так как $\frac{dr}{dt}=v$

Тогда

$a=\frac{v^2}{R}; \frac{dW}{dt}=\frac{2 e^2 v^4}{3 c^3 R^2}$

приравниваем $\frac{dE}{dt}=\frac{dW}{dt}$, узнаем скорость

$v=(\frac{3 c^3}{16 \pi \epsilon_0})^{1/3}$

и всё равно не получается обойтись без $v=\frac{R}{t}$

тогда время:

$t=v/R=c/R(\frac{3}{16 \pi \epsilon_0})^{1/3}$

так?

[Maslov]

t3rmin41 в сообщении #246961 писал(а):

$\frac{dr}{dt}=v$

Это не так - у Вас же электрон не по прямой на ядро падает.
Вот здесь посмотрите: http://open-edu.sfedu.ru/files/%D0%90%D0%A2%D0%9E%D0%9C%20%D0%92%D0%9E%D0%94%D0%9E%D0%A0%D0%9E%D0%94%D0%90.doc

[t3rmin41]

Maslov
спасибо большое!

Кстати, тогда вопрос.
Когда я могу скорость как$\frac{dr}{dt}=v$ представить и как это всё дело разложить на тангенциальную и нормальную компоненты?

[Maslov]

t3rmin41 в сообщении #247029 писал(а):

Когда я могу скорость как$\frac{dr}{dt}=v$ представить

Если у скорости есть только радиальная составляющая, то можно, если угловая тоже присутствует - нельзя.

t3rmin41 в сообщении #247029 писал(а):

как это всё дело разложить на тангенциальную и нормальную компоненты

Ну в данной задаче и раскладывать ничего не надо - здесь скорость исключается и из ускорения, и из полной энергии.

[t3rmin41]

Здесь да, а вообще? Я просто не хочу делать таких ошибок, но видимо, надо что-то узнать и научиться чему-то, чтоб их не делать.

[Maslov]

Почитайте что-нибудь по кинематике материальной точки. Ну и уравнения динамики в векторной форме.

[t3rmin41]

Попробовал я подставить значения и получить численный ответ, не получается данное число

Поэтому вот ещё раз решение:

2-ой закон Ньютона

$m_e \frac{v^2}{r}=k \frac{e^2}{r^2}$

Ускорение

$a=k \frac{e^2}{m_e r^2}$

Кинетическая энергия

$K=\frac{m_e v^2}{2}=k \frac{e^2}{2r}$

Полная энергия

$E=K+U=\frac{m_e v^2}{2}-k \frac{e^2}{r}=-k \frac{e^2}{r}$

Излучение

$-\frac{dE}{dt}=\frac{dE}{dr} \frac{dr}{dt}= \frac{2 e^2 a^2}{3 k c^3}$

Производная $\frac{dE}{dr}$

$\frac{dE}{dr}=k \frac{e^2}{r^2}$

Уравнение

$ k \frac{e^2 dr}{r^2 dt}=\frac{2 e^2}{3 k c^3} (\frac{k e^2}{ m_e r^2})^2$

Разделяем переменные

$r^2 dr = \frac{2 e^4}{3 c^3 {m_e}^2}dt$

Интегрируем

$\int r^2 dr= \frac{2 e^4}{3 c^3 {m_e}^2} \int dt$

Получаем

$ \frac{r^3}{3} = \frac{2 e^4}{3 c^3 {m_e}^2} t$

Окончательно

$t = \frac{m_e^2 c^3 r^3}{2 e^4} = \frac{(9,1 \cdot 10^{-31})^2 (3 \cdot 10^8)^3 (0,053 \cdot 10^{-9})^3}{2 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19})^4} = \frac{82,81 \cdot 10^{-62} 27 \cdot 10^{24} 0,00015 \cdot 10^{-27}}{13.1 \cdot (10^{-19})^4} =$
$= 0,0256 \cdot 10^{-62+24-27+76} = 0,0256 \cdot 10^5 $

А в ответе $1.3 \cdot 10^{-11}$

[Maslov]

Да уж, надо было мне, конечно, повнимательнее на этот документ посмотреть, прежде, чем Вам ссылку давать. Ну да ладно...
Проблем там две:
1. Потеряна двойка в знаменателе выражения для полной энергии (E = K + U).
2. В выражении для мощности излучения k должно быть в числителе, а не в знаменателе.

Кстати, небольшой совет - если возникают сомнения, сразу проверяйте, что во всех уравнениях размерности правой и левой частей совпадают. Во многих случаях это самый короткий путь к поиску ошибки. Например, в данном случае
$-\frac{dE}{dt} = \frac{2 e^2 a^2}{3 k c^3}$
В правой части ампер аж в 4-й степени, а в левой никакого ампера и близко нет. Сразу очевидно, что в формуле ошибка.
Ну и порядок Вы тут неверно посчитали:

t3rmin41 в сообщении #247593 писал(а):

$= 0,0256 \cdot 10^{-62+24-27+76} = 0,0256 \cdot 10^5 $