Частица в ящике с абсолютно упругими стенками

[druggist]

Пусть в полости с абсолютно упруго отражающей поверхностью помещена частица с кинетической энергией Е. Тогда в импульсном пространстве точка, описывающая состояние системы, будет все время находиться на поверхности (трехмерной) сферы фиксированного радиуса.

Логично предположить, , что точка будет проводить равное время на участках сферы равной площади, то есть, что "число микросостояний" будет пропорционально площади участка на поверхности сферы.

Если мы зафиксируем проекцию импульса на ось х, то две другие компоненты импульса будут меняться так, что точка на сфере будет описывать окружность, тем большую, чем меньше величина проекции(при Px =0 это максимальная окружность, лежащая в плоскости, проходящей через начало координат - центр сферы). Число микросостояний, лежащих в интервале от Px до Px+dPx ,будет пропорционально площади поверхности тонкого кольца на сфере. Так, из геометрических соображений легко можно получить функцию распределения компоненты импульса а следовательно и компоненты энергии f(Ex), которая, конечно же не будет иметь вид экспоненты exp(-Ex/с), где с -некоторая постоянная. Будет некотороя спадающая с ростом Еx кривая.

Но вот вопрос, если мы увеличим число частиц в полости или, что почти то же самое, увеличим размерность теперь уже гиперсферы, то, очевидно(?) получим в пределе экспоненту(примерно также как она возникает при выводе распределения Пуассона), и придем к распределению Максвелла, обычно получаемого из канонического распределения Гиббса.

Собственно, рассмотреная выше "упругоотражающая полость с частицей внутри" и есть попытка наглядно-геометрической иллюстрации связи канонического распределения Гиббса и микроканонического...

[PapaKarlo]

druggist в сообщении #246211 писал(а):

Логично предположить, , что точка будет проводить равное время на участках сферы равной площади

Это действительно так, независимо от формы полости и свойств ее поверхности? Например, для полости с двумя паралелльными стенками частица может двигаться по прямой, перпендикулярной этим стенкам - в геометрическом пространстве, разумеется, - что будет соответствовать лишь двум положениям частицы в импульсном пространстве. Или я ошибаюсь?

[Quantrinas]

druggist в сообщении #246211 писал(а):

Логично предположить, , что точка будет проводить равное время на участках сферы равной площади, то есть, что "число микросостояний" будет пропорционально площади участка на поверхности сферы.

Не очень то логично, для этого движение должно быть эргодично, а с чего бы это вдруг?

[druggist]

PapaKarlo в сообщении #246220 писал(а):

что будет соответствовать лишь двум положениям частицы в импульсном пространстве. Или я ошибаюсь?

Это так конечно же... Скорее полость должна быть более-менее сферической геометрии, тогда такие положения будут неустойчивыми и точка будет "гулять" по всей поверхности сферы более-менее равномерно. Не хотелось создавать путаницы: сфера в импульсном пространстве, сфера в координатном

[Quantrinas]

druggist в сообщении #246233 писал(а):

Скорее полость должна быть боее менее сферической геометрии, тогда такие положения будут неустойчивыми и точка будет "гулять" по всей поверхности сферы более менее равномерно.

Сие есть классическая задача - хаотический бильярд. Не уверен, что есть бильярды с полностью эргодическим поведением, то есть как в Вашей задаче.

[peregoudov]

А в чем вопрос-то?

[druggist]

peregoudov в сообщении #246456 писал(а):

А в чем вопрос-то?

Как в чем, получится ли экспонента в пределе бесконечного числа степеней свободы, это можно подсчитать.

[peregoudov]

А распределение вы хотите получить для одной частицы? Тогда получится. Только это ни разу не связь микроканонического распределения с каноническим, поскольку оба они не для одной частицы, а для N частиц. Хотя модификация вашего рассуждения (рассмотреть распределение комплекса из фиксированного числа частиц "n" при общем числе частиц N, стремящемся к бесконечности) известна под именем "метода Дарвина-Фаулера".

[druggist]

Я хочу найти функцию распределения для величины (квадрата) проекции импульса одной частицы на ось х (Ex=Px^2/2m). При этом в ящике может быть одна, две, N, бесконечное множество частиц.То есть, малая подсистема, являющаяся частью большой изолированной системы, это даже не одна частица, а только одна из трех компонент ее импульса. Почему проекция одной частицы? Потому, что это самый простейший случай, его легко прикинуть. Для N=1, то есть в случае одной частицы распределение для проекции ее импульса на ось x будет равномерным f(Px) =сonst. Для N>1 нужно учесть, что площадь гиперсферы в пространстве размерности 3N пропорциональна радиусу в степени (3N-1). В пределе бесконечных N должно получиться распределение Максвелла ( оно как известно распадается на произведение трех независимых распределений, каждое из которых определяет распределение вероятностей для проекций импулься: f(Px)=А exp(-Px^2/2m), см,напр. ЛЛ5ч1стр.106) К сожалению, в пределе бесконечных N чтобы получилась экспонента нужно результат поделить на N!, что ниоткуда не следует...

[peregoudov]

druggist в сообщении #246674 писал(а):

Я хочу найти функцию распределения для величины (квадрата) проекции импульса одной частицы на ось х (Ex=Px^2/2m).

Ну, получится Максвелл, получится.

druggist в сообщении #246674 писал(а):

К сожалению, в пределе бесконечных N чтобы получилась экспонента нужно результат поделить на N!, что ниоткуда не следует...

Опять какие-то проблемы? Вы их способны внятно сформулировать?

[druggist]

Нет, проблема снята, оказывается площадь гиперсферы еще и обратно пропорциональна (3N/2)!


Тут еще надо добавить замечание: только отражение частиц от стенок приведет к хаотизации направлений скорости частиц в полости, но не к "максвеллизации". Для последнего нужно, чтобы частицы также сталкивались друг с другом, отдавая и получая импульс. Должно быть малое взаимодействие подсистем.



P.S. Забавно, наткнулся в сети на относительно новую книжку по статфизике, где этот вывод уже проделан один к одному:)
James P. Sethna, "Entropy, Order Parameters, and Complexity", p.42

http://pages.physics.cornell.edu/sethna/StatMech/EntropyOrderParametersComplexity.pdf