делимость многочленов

[maxmatem]

вот никак не могу соообразить как найти $a,b$ такие что $f(x)=x^{3}+8x^{2}+5x+a$ делится без остатка на $g(x)=x^{2}+3x+b$
Если бы g(x),был бы в нормальном виде, т.е я бы его на множители разложил и теорему Безу к первому многочлену применил бы и нашёл $a,b$!но сейчас не знаю что делать!

[DEstroFig]

Попробуй просто поделить многочлены столбиком и приравнять остаток к нулю

[maxmatem]

ну я так и сделал! и получил что $x=\frac{a-5b}{b+10}$
что дальше?

[jetyb]

По теореме Виета найдите $x_1+x_2+x_3$ и $x_1+x_2$, где $x_1, x_2$ - корни уравнений $f(x)$ и $g(x)$, а $x_3$ - корень $f(x)$.

[maxmatem]

а то что я нашёл условие на x при котором остаток равен нулю, оно мне понадабится?
$x_{1}+x_{2}=-3$
$x_{1}x_{2}=b$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-8$
$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=5$
$x_{1}x_{2}x_{3}=-a$
это верно?

[jetyb]

Верно. И при каком $a$ $x_3$ является корнем $f(x)?$

[maxmatem]

$a=-50$?

[jetyb]

Ага. Остается найти два оставшихся корня $f(x).$

[maxmatem]

а найти их надо из ур-ий $x_{1}+x_{2}=-3$
$x_{1}x_{2}x_{3}=-a$?

[jetyb]

Конечно.

[Виктор Викторов]

maxmatem в сообщении #246658 писал(а):

ну я так и сделал! и получил что $x=\frac{a-5b}{b+10}$ что дальше?

Как это «что дальше?»? При $b=-10$ и $a=-50$ $f(x)$ делится без остатка на $g(x)$.

[maxmatem]

я понял эту систему не надо решать! мы же в сразу получим $b=-10$!
так?

-- Сб сен 26, 2009 17:04:23 --

но когда подставляю в остаток соответствующие а,b имею: что $x=\frac{0}{0}$ это нормально?

[Виктор Викторов]

Вас же спросили: когда делится без остатка? Вы нашли зависящий от параметров остаток. Остается ответить на вопрос: при каких значениях параметров остаток ноль вне зависимости от значений $x$. Псё.

maxmatem в сообщении #246680 писал(а):

но когда подставляю в остаток соответствующие а,b имею: что $x=\frac{0}{0}$ это нормально?

Нет!!!!!!!!!!!!!!!! Антинормально!!!!! Вы просто не делите на ноль, а рассматриваете линейную функцию $-(b+10)+(a-5b)x$ и находите при каких значениях параметров она постоянно равна нулю.

[maxmatem]

т.е нахождение корней было неизбежно?

[ewert]

maxmatem в сообщении #246658 писал(а):

ну я так и сделал! и получил что $x=\frac{a-5b}{b+10}$
что дальше?

Вы не это получили. Вы получили, что остаток ести линейный многочлен $(-b-10)x+(a-5b)$; при чём тут "$x=-то? Многочлен этот по условию должен быть тождественным нулём, откуда и система: $-b-10=0$ и $a-5b=0$.