Сонаправленность векторов

[Sasha2]

Вот рассмотрим такое определение:

Два вектора AB и CD называются сонаправленными если
1) Либо точки A, B, C и D лежат на одной и той же прямой, а полупрямые AB и CD таковы, что одна из них является частью другой.
2) Либо если фигура ABDC является параллелограммом.

Наверно - это правильно определение.

Но хотелось бы узнать, есть ли протой способ доказательства такого предложения
Два вектора, сонаправленные третьему, сонаправлены между собой.

Здесь имеется в виду то, что может быть есть какое-нибудь доказательство, кроме как тошнотно и муторно перебирать и рассмтривать все возможные альтернативы (когда какие векторы лежат на одной прямой или не лежат).

[Maslov]

Sasha2 в сообщении #246313 писал(а):

Два вектора AB и CD называются сонаправленными если
1) Либо точки A, B, C и D лежат на одной и той же прямой, а полупрямые AB и CD таковы, что одна из них является частью другой.
2) Либо если фигура ABDC является параллелограммом.

А зачем первый случай специально выделять? Вырожденный параллелограмм - он тоже параллелограмм. Тогда останется только одна "альтернатива".

[venco]

А разве сонаправленные вектора должны быть равны по модулю?

[Maslov]

Ой, позор, мне, позор

[Sasha2]

Да у меня тоже косяк в определении.
Конечно, оно дано не для сонаправленных а для равных векторов.

[anton123]

имеется какое-то ограничение на использование координатного метода? можно рассмотреть координаты векторов. координаты соответствующих векторов должны отличатся лишь постоянным множителем

$\vec{a}||\vec{b} \Rightarrow \vec{a}=(x_a, y_a, z_a) $ и $\vec{b}=(\alpha x_a, \alpha y_a, \alpha z_a)$. $\vec{b}||\vec{c} \Rightarrow \vec{c}=(\beta \alpha x_a, \beta \alpha y_a, \beta \alpha z_a) \Rightarrow \vec{a}||\vec{c}.$
$\alpha, \beta \in \mathbb{R}. $

[Sasha2]

То что Вы предлагаете, anton123, это все равно, что телегу перед лошадью ставить.
Так можнл и теорему косинусов и теорему Пифагора через скалярное произведение векторов доказывать.
Однако, чтобы прийти к этим координатам и скалярным произведениям, нужно сперва кое-что доказать и в элементарной геометрии. Никто не против этого, но элементарная логика последовательности ПОЛУЧЕНИЯ ФАКТОВ должна соблюдаться.

А определение, которое дано мной выше можно все таки приспособить, если доказать простеньку лемму.
Лемма: Два вектора AB и CD будут направлены точно также как и единичные векторы AM и CN, лежащие, на полупрямых AB и CD.

[Maslov]

Sasha2, мне кажется, тут есть некоторая терминологическая неразбериха.
Что в Вашем определении сонаправленных векторов понимается под векторами?
Дайте определение вектора, пожалуйста.

[CowboyHugges]

Sasha2 в сообщении #246384 писал(а):

Так можнл и теорему косинусов и теорему Пифагора через скалярное произведение векторов доказывать.

А так оно и есть Вектора ведь не ограничены $R^3$. Поэтому можно вообще отказаться от элементарной геометрии. А Ваша лемма и есть ответ на Ваш же вопрос и записать это можно как если $\frac{x_1}{\lVert x_1 \rVert}=\frac{x_2}{\lVert x_2 \rVert}$, то вектора сонаправлены

[Maslov]

CowboyHugges в сообщении #246394 писал(а):

Вектора ведь не ограничены $R^3$. Поэтому можно вообще отказаться от элементарной геометрии.

"Геометрический" вектор - это упорядоченная пара точек в $E^n$, а не просто элемент произвольного векторного пространства.

[ewert]

Maslov в сообщении #246400 писал(а):

"Геометрический" вектор - это упорядоченная пара точек

Это -- т.наз. "связанный" вектор. А под геометрическими векторами обычно всё-таки понимают "свободные".

[Maslov]

ewert в сообщении #246401 писал(а):

Это -- т.наз. "связанный" вектор. А под геометрическими векторами обычно всё-таки понимают "свободные".

Скорее всего, автор подразумевает все-таки связанные. Иначе, что понимается под полупрямыми АВ и CD?
Впрочем, что подразумевает автор, выяснить пока не удалось

[Sasha2]

Да нет связность тут не при чем.
Что же касается терминологической неразберихи, то наверно она все же есть.
А связана она, как мне кажется именно с самим понятием направления, котрое аксиоматизируется.
Аксиома: На каждой прямой существует два взаимно противоположных направления.
Направление (как и вектор впрочем) определяется двумя различными точками, заданными в определенном порядке.
Только вектор - это еще отрезок с концами в этих точках, а направление всего лишь порядок, в котором эти точки заданы.

Что же касается понятия сонаправленности, то оно возникает совершенно естественно.
Понятно, что любой вектор, можно неограничено продолжить за его конец (в этом и отличие от ненаправленных отрезков, там непонятно за какой конец продолжать), перейдя от векторов к полупрямым. Отсуда сразу же получаем, что каждая точка прямой делит всю прямую на две взаимно противоположных полупрямых. И естественно вопрос о направлении векторов сводится теперь к вопросу о взаимном расположении полупрямых.

Применительно к понятию сонаправленность, речь идет о взаимном расположении полупрямых, принадлежащих различным параллельным прямым.
Ну а дальше уже естественно подходим к такому месту, где приходится долго и нудно перебирать все возможные варианты расположения сонаправленных векторов (или, что то же самое, полупрямых, определяемых этими векторами).

[ewert]

Sasha2 в сообщении #246482 писал(а):

Да нет связность тут не при чем.
. . . . . . . . . . . . .
Только вектор - это еще отрезок с концами в этих точках, а направление всего лишь порядок, в котором эти точки заданы.

Не "связность", а "связанность".

Вектор (обычный, т.е. "свободный") -- это не просто отрезок, а "отрезок, определённый с точностью до параллельного переноса". А направление -- это уже результат следующей факторизации: направлением называется класс эквивалентности векторов по отношению, состоящему в их пропорциональности с неким положительным коэффициентом.

[Sasha2]

А я вообще то считаю, что первичным является направление, вводимое аксиоматически.
Но еще первичнее просто упорядоченная пара точек.
Скорей всего ситуация такая же как с точкой и прямой, а именно точка самый простой объект, прямая уже посложнее, но все же определить прямую, как некоторое множество точек нельзя.
И здесь также.