Таблица умножения для поля GF(9)

[Анти]

Подскажите, пожалуйста, как строить таблицу умножения для конечного поля из $9$ элементов $GF(9)$.

[Руст]

Рассмотрите как квадратичное расширение поля $Z_3$. Для этого можно взять неразложимый над $Z_3$ квадратный многочлен, например $x^2+1$ и факторизовать алгебру многочленов над $Z_3$ по этому соотношению. Это даст числа вида $a+bx,a,b\in Z_3, (a_1+b_1x)(a_2+b_2x)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)x$.

[Анти]

Спасибо большое.
Правильно ли я понял?
Берём неприводимый квадратичный многочлен над $Z_3$ (их всего три: $x^2 + 1, x^2 \pm x - 1$.
Берём, к примеру, корень $x^2 + 1$, обозначая его $i$. Тогда в поле из $9$ элементов будут числа:
$-1-i, -1, -1+i, -i, 0,i,1-i, 1, 1+i$. При умножении они будут вести себя как обычные мнимые числа, т.е. если составлять табличку, то в ней число $i^2$ нужно заменять на $-1$?

Почему нужно брать именно квадратичный неприводимый над $Z_3$?

[Руст]

Любое поле порядка $p^k$ содержит простое поле с р элементами и является его алгебраическим расширением.

[Brukvalub]

Анти писал(а):

Почему нужно брать именно квадратичный неприводимый над $Z_3$?

Дело в том, что конечное поле порядка $9 = 3^2 $ удобно рассмотреть как алгебраическое расширение поля вычетов по модулю $3$. Если $F$ - поле с $q$ элементами, и $K$ - его расширение степени $n$, то в $K$ содержится $q^n $ элементов.В Вашем случае нужно построить расширение степени $2$. Для этого можно воспользоваться стандартной процедурой: взять неприводимый над исходным полем многочлен и расширить поле присоединением корня этого многочлена. Вам требуется присоединить ровно один корень неприводимого многочлена именно второй степени - тогда поле расширения гарантированно станет двумерным векторным пространством над исходным полем $Z_3$, то есть получит ровно $9$ элементов.