Счетность множества многочленов с рац. коэффициентами

[fraktal]

Доказать, что множество всех многочленов с рациональными коэффициентами - счетное множество.

много чего не понимаю в задаче
Чтобы доказать, что множество счетно, нужно каким-то образом занумеровать все его элементы. Я занумеровал все множество многочленов. Но как перейти к рациональности коэффициентов?
Опираясь на то, что множество всех рациональных чисел $Q$ счетно, можно ли каким-то образом ответить на вопрос задачи? Например, через свойство транзитивности эквивалентных множеств?

[ИСН]

Занумеровали всё множество многочленов? Можете больше ни о чём не волноваться.

[maxmatem]

ну занумеровать мн-члены можно ч\з высоту полинома! так проще! $h=|n|+|a_{0}|+...+|a_{n}|$, т.е полиномов с определённой высотой конечное мн-во, значит занумеруем их исходя из высоты!
ОЙ!! а вы так кажется и сделали

[ewert]

fraktal в сообщении #245959 писал(а):

Доказать, что множество всех многочленов с рациональными коэффициентами - счетное множество.

Картинка -- явный перебор.

Надо сводить к стандартным кирпичикам:

1). Декартово произведение конечного количества счётных множеств -- счётно. (Как следствие -- счётно множество многочленов фиксированной размерности, т.е. не более чем фиксированной).

2). Счётное объединение счётных множеств -- счётно. (Как следствие -- счётно множество всех многочленов).

[fraktal]

Понятие произведения множеств пока не знаем. Введены только элементарные операции, отображения, свойства эквивалентных множеств.
Одного только 2-го "кирпичика" будет достаточно?

[Maslov]

fraktal в сообщении #246055 писал(а):

Одного только 2-го "кирпичика" будет достаточно?

Достаточно.
Множество многочленов 0-й степени с рациональными коэффициентами равномощно множеству рациональных чисел, т.е., счетно.
Множество многочленов 1-й степени с рациональными коэффициентами равномощно множеству пар рациональных чисел, т.е., счетно (доказательство счетности множества пар рациональных чисел аналогично доказательству счетности множества рациональных чисел)
...
Дальше - сами

[fraktal]

Цитата:

Множество многочленов 1-й степени с рациональными коэффициентами равномощно множеству пар рациональных чисел

Как это перевести на математический язык?

[Maslov]

fraktal в сообщении #246297 писал(а):

Цитата:

Множество многочленов 1-й степени с рациональными коэффициентами равномощно множеству пар рациональных чисел

Как это перевести на математический язык?

А чем это не математический язык?

[ewert]

Maslov в сообщении #246069 писал(а):

(доказательство счетности множества пар рациональных чисел аналогично доказательству счетности множества рациональных чисел)

Так это и есть доказательство счётности декартова произведения.

[Maslov]

ewert в сообщении #246356 писал(а):

Так это и есть доказательство счётности декартова произведения.

Конечно Только без использования операции декартова произведения, которого топикстартер еще не "проходил".

[rishelie]

Напугали человека

Для начала нумеруются пары целых чисел, например, по диагональной спирали: (0,0)=0, (1,0)=1, (0,1)=2, (-1,0)=3, (0,-1)=4, и т.д.
Рациональное число можно рассматривать как несократимую дробь пары чисел - целого к положительному целому. Следовательно, каждому рациональному числу соответствует номер из приведенной выше нумерации.
После чего переходим к многочленам (собственно, уже можно считать, что их коэффициенты - только натуральные числа).
Тут чуть посложнее: для заданного $n$ нумеруем все многочлены, а) в которых номера коэффициентов (присвоенные выше) не превосходят $n$, б) в которых старшая степень не превосходит $n$, в) которые ранее не были перенумерованы . Для этого используем натуральные числа, которые ранее (при меньших $n$) не были заняты для данной нумерации.

[ewert]

Я только хотел сказать, что бессмысленно давать подобные задачи, пока не зафиксированы базовые теоремы. Толку -- никакого, суть дела тонет в технических деталях.

[rishelie]

Видимо, имелся ввиду не теоретико-множественный, а чисто арифметический подход. Тут, наверное, если попотеть, то можно и явные формулы выписать по крайней мере для инъекции с многочленов в $\mathbb{N}$.

[ewert]

Так в том-то и пафос, что потеть без необходимости -- вредно. Откровенно.

[Maslov]

rishelie в сообщении #246516 писал(а):

Напугали человека

Да не больно-то человека и пугали. Единственный вопрос, который у него возник по изначально предложенной ewert'ом схеме - это нельзя ли обойтись без понятия декартова произведения. Т.е., счетность объединения счетного числа множеств никаких вопросов не вызвала. А счетность множества рациональных чисел вообще обычно первым делом доказывают.
Ну а по поводу "потеть/не потеть" - это от преподавателя зависит. Можно дать все базовые теоремы с самого начала, а можно сначала дать какую-то часть базовых теорем и задачи, из которых естественным образом возникают другие базовые понятия.
Может быть, это вообще "с тремя звездочками" задача - мы ж не знаем.