Последовательность квадратов и арифм. последовательность

[zubkovg]

Возможно такое уже было на форуме, но все - таки.
Еще год назад заметил интересную вещь связанную с квадратами чисел:
1,4,9,16,25,36,...
Если найти разность двух соседних то получается арифметическая прогрессия с шагом равным 2:
3,5,7,9,11,...
Теоритически тоже обосновал что шаг в этой арифметической прогрессии тоже равен 2.
Но хотел узнать нет ли более точных доказательств этого и почему шагом прогрессии является первое простое число - 2.
Просьба строго не судить, впервые создаю тему.

[Cave]

Потому что квадраты - это вторые степени. Если взять кубы и рассмотреть разности три раза, то, вы не поверите, получится второе простое число - 3.

[zubkovg]

1,8,27,64,125,216,...
7,19,37,61,91
12,18,24,30
6,6,6,...
Здесь получается по шаг 2*3 (мне кажется что дальнейший шаг просто факториал)
Спасибо за идею, рассмотрю 4 и 5 степень.

-- Пн сен 21, 2009 00:23:57 --

Да получается шагом является факториал степень в которую возведены исследуемые числа.
4-ая степень:
1,16,81,256,625,1296,2401,...
15,65,175,369,671,1105,...
50,110,194,302,434,...
60,84,108,132,...
24,24,24,...

[migmit]

Пора доказывать.

[zubkovg]

Формулой вывести можно легко.
Обозначив числа в квадратах арифм. прогрессией типа
a1,a1+1,a1+2,...
для маленьких степеней шаг теоритически находится легко.
но надо попробовать теоретически вывести шаг для N-ной степени.

[ewert]

zubkovg в сообщении #245081 писал(а):

но надо попробовать теоретически вывести шаг для N-ной степени.

Доказывайте по индукции.

(А вообще это известный факт: если $\Delta^kf$ -- это конечная разность порядка $k$, то ${\Delta^kf\over h^k}=f^{(k)}$.)

[zubkovg]

А кто это вывел скажите пожалуйста, я найду литературу этого автора, а то надо опыта набираться.

[ewert]

zubkovg в сообщении #245086 писал(а):

А кто это вывел скажите пожалуйста,

Это фольклор. Будете изучать численные методы -- автоматом на это выйдете, а пока -- доказывайте по индукции, полезнее будет.

[zubkovg]

ОК
Буду доказывать

[shwedka]

ewert в сообщении #245084 писал(а):

(А вообще это известный факт: если $\Delta^kf$ -- это конечная разность порядка $k$, то ${\Delta^kf\over h^k}=f^{(k)}$.)

Дополнение: для полиномов степени $k$.

[ewert]

shwedka в сообщении #245093 писал(а):

Дополнение: для полиномов степени $k$.

Вообще-то всегда. Просто для полиномов производная -- это константа, а в остальных случаях -- берётся в некоторой промежуточной точке.

[shwedka]

ewert в сообщении #245097 писал(а):

берётся в некоторой промежуточной точке.

Правда, но для полинома произвольной степени попробуйте, найдите точку эту...

[ewert]

А у меня некоторое двойное недоумение: и чего мы с Вами в этой теме делаем, и чего сама тема делает среди дискуссионных...

[shwedka]

и верно.Можно, конечно, для смеха попробовать определить разность дробного порядка и задаться вопросом, какие функции этой разностью аннулируются. Не настаиваю.

[Cave]

Ой, да, чушь сказал, факториалы, конечно, получаются.