n1 догоняет n2 - рассчитать путь L

[3non]

помогите решить (школьную) задачу: два тела m1 и m2 движутся, равномерно и прямолинейно, со скоростями соответственно v1 и v2, по одной прямой в одну и ту же сторону, одно тело догоняет другое (т.е. v1>v2). В момент начала отсчета 0 расстояние между ними составляет некое значение L .
Как рассчитать расстояние L1 (отстоящее от нулевого начала отсчета), которое пройдет m1, до того как догонит m2 ?
аналогично:
Как рассчитать время (с начала нулевого отсчета), которое пройдет до того как m1 достигнет m2 ?

подскажите (или дайте ссылку на решение, сам найти не смог, сорри) плз
зы: в школе учился плохо и давно

...или конкретно: одно (пуля, снаряд, ракета, машина,.. со скоростью 10км/ч) догоняет другое (самолёт, танк, мотоцикл,.. скорость которого 5км/ч), начальное расстояние между ними - 1км. Через какое расстояние первое настигнет второе

-- Сб сен 19, 2009 17:20:00 --

ps: задача может и физическая, но формула нужна строго математическая, для точного расчета

[worm2]

Для начала нужно выбрать систему координат. Поместим начало координат в точку, в которой тело m1 находилось в момент времени 0, прямую направим вправо. В точке с координатой L в момент времени 0 будет находиться тело m2:

Ось времени разместим так, чтобы она смотрела вверх:

  ^ t
  |
  |
  |
--0 (m1) ---- L (m2) -----> x
  |

Затем отсчитаем от начала координат (где сидит m1) вверх точку с временной координатой t=1, и от этой точки вправо отсчитаем v1. Аналогично от точки m2 вверх отсчитываем 1, вправо --- v2:

  ^ t
  |
  1------v1   *--v2
  |           |
--0 (m1) ---- L (m2) -----> x
  |

Соединяем точки m1 и v1 прямой, аналогично соединяем точки m2 и v2 прямой. Эти 2 прямые пересекутся где-то в правом верхнем углу. Абсцисса точки пересечения даст L1, ордината --- время, за которое m1 догонит m2.

Это был графический способ. Алгебраический таков:

$$\left\{ \begin{array}{lll} x&=&v_1t\\ x&=&L + v_2t \end{array} \right. $$

Решение этой системы (2 неизвестных: x и t) даст x = L1 и t = время встречи.

[Alhimik]

Для начала запываем уравнения движения этих двух тел. Поскольку они движутсяравномерно и прямолинейно, тогда
$s_1(t)=s_{01}+v_1t$
$s_2(t)=s_{02}+v_2t$
Где $s_{01} $ и $ s_{02}$ координаты соответственно первого и второго тела в момент времени t=0$[/math].
По условию $L= s_{02} - s_{01}$ Т.е. второе тело опережает первое тело.
Из самых первых формул следует, что
$s_2(t)-s_1(t)=s_{02}+v_2(t)-s_{01}-v_1(t)=s_{02}-s{01}-t(v_1-v_2)=L-t(v_1-v_2)$
Момент стокновеия характеризуется $s_2(t)=s_1(t)$ Т.е. $s_2(t)-s_1(t)=0$
Тогда,
$0=L-t_{stolkn}(v_2-v_1)$
Таким образом время столковения $t_{stolkn}= \frac L {v_1-v_2}$
Координата столкновения $s_{stolkn}=s_1(t_{stolkn})=s_2(t_{stlkn})$.

[3non]

да, "графический" понятен. ясно.

worm2 в сообщении #244812 писал(а):

Это был графический способ. Алгебраический таков:

$$\left\{ \begin{array}{lll} x&=&v_1t\\ x&=&L + v_2t \end{array} \right. $$

Решение этой системы (2 неизвестных: x и t) даст x = L1 и t = время встречи.

так каково решение этой системы? (сорри, сам ниразу не математик)

пс: подсказывают, что решение через систему линейных уравнений

[Alhimik]

Поскольку левые части уравнений этой системы равны, тогда равны и правые части. $v_1t=L+v_2t$
$v_1t-v_2t=L$
$t(v_1-v_2)=L$
$t=\frac L {v_1-v_2}$ - время столкновения.

[3non]

погодите. Через L обозначется расстояние "изначальное". Найти же надо расстояние, которое пройдёт m1 до столкновения, т.е. L1

Alhimik в сообщении #244818 писал(а):

$t=\frac L {v_1-v_2}$ - время столкновения.

точнее - "время до столкновения" (так?)

-- Сб сен 19, 2009 20:25:32 --

т.е., как понимаю, зная "время до столкновения"
$t=\frac L {v_1-v_2}$
можно, подставив его в любое из уравнений

$$\left\{ \begin{array}{lll} x&=&v_1t\\ x&=&L + v_2t \end{array} \right. $$

узнать координату х столкновения (и, далее, L1)

[Alhimik]

Alhimik в сообщении #244814 писал(а):

Координата столкновения $s_{stolkn}=s_1(t_{stolkn})=s_2(t_{stlkn})$.

То есть ваше $L_1=s_1(t_{stolkn})-s_{01}$ И всего-то делов.

[3non]

погодитепогодите... В условие задачи не входят ни s_1 ни s_{01} (да и t тоже)

итоговая формула такова:

Цитата:

$L_1=v_1\frac L {v_1-v_2}$

...и при пропорциональном увеличении обеих скоростей точка встречи остается одной и той же - уменшается только время до столкновения