сопряженная функция

[g-a-m-m-a]

Пусть $f:X\to\mathbb R-$выпуклая функция, сопряженная функция $f^*(x^*)=\sup\limits_{x\in X}(<x,x^*>-f(x))$.
Вопрос: каково множество определения сопряженной функции?

[Alexey1]

Если Вы имели ввиду сопряжённую функцию, где супремум в определении меньше бесконечности, то навряд ли можно дать однозначный ответ. Например, для функции $f(x)=a|x-b|, a>0, x \in R$ сопряжённая функция равна $h(y)=by, y\in[-a,a]$. Если функция $f(x)=\frac{1}{2} x^2, x \in R$, то сопряжённая функция $h(y)=\frac{1}{2}y^2, y \in R$.

[nn910]

g-a-m-m-a в сообщении #244870 писал(а):

Пусть $f:X\to\mathbb R-$выпуклая функция, сопряженная функция $f^*(x^*)=\sup\limits_{x\in X}(<x,x^*>-f(x))$.
Вопрос: каково множество определения сопряженной функции?

Принимая предположение Alexey1думаю что ответ нужен в терминах функции f.
Если f дифференцируема, то f' монотонна $sup f'=a$, $inf f'=b$ конечные или бесконечные. Тогда область определения сопряженной функции интервал (b,a) и, может быть, его концы(В примере 1 Alexey1 они входят). Ну и как-то ,пользуясь выпуклостью, обобщить на недифференцируемые

[Alexey1]

Нужны ещё какие-то условия, так как если $f(x)=cx-d, x \in R^+$, то $\inf_{x \in R^+} f'(x)=c, \sup_{x \in R^+} f'(x)=c$, а вот сопряжённая функция $h(y)=d, y \leq c$.

[g-a-m-m-a]

Пусть $f(x)=-<c,x>,\,g(x)=\delta(x,\,G),$где $G=\{y|y\leqslant b\},$ а $\delta(x,\,G)=\begin{cases}0,\,x\in G,\\+\infty,\,x\not\in G.\end{cases}$
Как найти функцию $f^*(-A^*q)+g^*(q)?$

[Jnrty]

Jnrty:

g-a-m-m-a, не дублируйте темы.

[nn910]

Alexey1 в сообщении #245031 писал(а):

Нужны ещё какие-то условия, так как если $f(x)=cx-d, x \in R^+$, то $\inf_{x \in R^+} f'(x)=c, \sup_{x \in R^+} f'(x)=c$, а вот сопряжённая функция $h(y)=d, y \leq c$.

Ну тогда предлагаю например,если область определения f ограничена слева, а правая производная снизу,"продолжать график за крайнюю левую точку вертикалью",т.е. считать$inf f' =- \infty$По сути хочется чтобы выпуклая оболочка графика f была "объемной" и касательная могла по ней прокатиться,плавно поворачивая. Только формально +понятно описать трудно.

[g-a-m-m-a]

g-a-m-m-a в сообщении #245074 писал(а):

Пусть $f(x)=-<c,x>,\,g(x)=\delta(x,\,G),$где $G=\{y|y\leqslant b\},$ а $\delta(x,\,G)=\begin{cases}0,\,x\in G,\\+\infty,\,x\not\in G.\end{cases}$
Как найти функцию $f^*(-A^*q)+g^*(q)?$

собственно $g^*(q)=<q,b>$(это понятно), а вот $f^*(-A^*q)$ должно равняться $\delta(-A^*q,\,\{c\})+\delta(q,\,\mathbb {R_+}^n),$ что не получается найти((