Приблизительность решений

[Andrej-V]

На горке на высоте h находится шарик. Мимо горки едет поезд со скоростью v=(2gh)^(1/2).
Шарик скатывается по ходу поезда. В начальный момент в системе отсчета, связанной с поездом шарик имеет энергию (m*(v^2))/2+mgh. в конце энегия (в той же системе) ==0.
Так получается из-за пренебрежения изменения энергии земли.
Вопрос: какие существуют правила оценки возможности пренебрежения какой-либо величиной
(где об этом можно прочитать)?

[Хет Зиф]

Списка правил никогда не видел. Все зависит от характера задачи и от требуемого решения. Бывают такие задачи где требуется, что то найти с какой -то погрешностью и.т.д. Обычно величину меньшую в 10 раз другой уже можно считать знаком $a << b $
Иногда в задачах напрямую указывается знак $ << $ между какими-то величинами. А иногда нужно самому понимать что те или иные объекты не будут оказывать принципиального влияние на то или иное физическое явление. Подбрасывая камень в воздух, мы не учитываем например притяжение его к Луне.

[Котофеич]

Andrej-V писал(а):

На горке на высоте h находится шарик. Мимо горки едет поезд со скоростью v=(2gh)^(1/2).
Шарик скатывается по ходу поезда. В начальный момент в системе отсчета, связанной с поездом шарик имеет энергию (m*(v^2))/2+mgh. в конце энегия (в той же системе) ==0.
Так получается из-за пренебрежения изменения энергии земли.
Вопрос: какие существуют правила оценки возможности пренебрежения какой-либо величиной
(где об этом можно прочитать)?

http://www.edurss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=& ... u&list=120

[Andrej-V]

Спасибо.
Если руководсвоваться тем, что вы изложили, то землю можно отбросить как в первом, так

и во втором случае и получить парадокс.
Нельзя в сумме двух величин отбрасывать много меньшую, т.к. эта сумма может входить в

выражение таким образом,что ее незначительное изменение (порядка меньшей величины)

сильно влияет на результат. Причем именно на результат, различный для разных случаев

вхождения выражения (содержащего и сумму) в другие выражения: в каких-то комбинациях

можно отбросить в каких-то нет.
Очевидно в любом случае отбрасывать можно что-то только после составления и анализа

уравнений.
Меж тем, увы, например при решении задачи о шарике в неподвижной системе отбрасывают

землю в неподвижной системе с оговоркой, что ее масса много больше массы шарика

(получая правильный результат), и в массе др. задач руководствуются изложенным вами

принципом.
Мне кажется, что необходимо брать производную от конечного результата (повторюсь нельзя

использовать промежуточные) по отбрасываемой величине и умножать ее на отбасываемую -

абсолютная величина это погрешность.Но тут опять парадокс. Ведб нужно знать

относительную погрешность, которую можно получить делением на точное выражение (без

отбрасывания малых членов). Но в таком случае приближение, связанное с отбрасыванием

становится ненужным: все равно точное выражение надо вычислять (ну и еще дополнительные

действия).
Это мои мысли. Как нужно по науке? Вообще-то когда-то, где-то я читал эту тему (кажется в первом томе Савельева или в механике Хайкина, не придавая этому значения , а сейчас у меня этих книг нет).В книге находящейся по ссылке это есть?

[Котофеич]

Есть. Но книга зачем. Нужно просто вычислить полный дифференциал и по
нему видно как ошибки независимых переменных влияют на ошибку всей функциональной
завсимости

[photon]

Есть такая забавная книжка у Маковецкого "Смотри в корень". Так вот по-моему там (как доберусь до дома - проверю) последней задачей шла задача о яблоке "С какой силой оно давит на стол?" или что-то в этом роде, и очень доступно объяснялось, что такую, казалось бы простую, задачу решить абсолютно точно (как впрочем и любую другую физическую задачу) нельзя. Перемещение шарика, поезда, Земли друг относительно друга, относительно атмосферы и т.п., все это влияет на конечную энергию. Зачем же тогда отбрасывать взаимодействие шарика и поезда?

А что касается нахождения точного решения для определения погрешности, то не всегда нужно решать точно - порой достаточно провести оценку с точностью до порядка величины, чтобы оценив погрешность сверху, можно было сказать, что он пренебрежимо мала.

[Andrej-V]

Увы не уверен в истинности ваших, Photon, рассуждений.
При измерениях величин проводят оценку погрешностей. но для оценки погрешностей всегда используют точную формулу, исходя из которой и вычисляют эти погрешности и далее принимают решение о возможности отбрасывания каких-то малых величин.
Но как можно оценить погрешность сверху не зная полной функциональной зависимости.
Именно так рассуждая можно получить парадокс описанный вначале: масса земли таже,все то же, но в неподвижной системе получается возможным отбросить кинетическую энергию земли, а в подвижной вся энергия шарика передается земле - как не решая точно, с помощью каких рассуждений вы сможете оценить погрешности сверху не решая вначале задачу точно?
Насколько помню, Маковецкий говорит о том, что количество знаков после запятой у любого числа бесконечно большое, а мы измерения записываем конечным количеством цифр. Т.е. немного не по теме (если вы об этом рассуждении).

[sexstant]

Может это поможет? http://www.sgtnd.narod.ru/wts/rus/nlnschool2.htm

[Andrej-V]

Спасибо за интересную ссылку. Несмоьря на желание убедить в возможности приближения не зная точного уравнения, меня убедили в обратном. Оценка периода маятника. Но мы абсолютно точно знаем две вещи:
1. Закон движения по наклонной плоскости.
2. Как этот закон зависит от угла наклона (существенно то что мы знаем о невозможности резкого изменения функциональной зависимости от угла: она остается одной и той же).
это дает возможность приближения: мы знаем как точность угла связана с точностью времени движения абсолютно точно.
В других задачах аналогично.
Но, еще раз прошу привести аргументы приближения в задаче о шарике в неподвижной системе ( пока не известен закон движения).
Другой пример.
В теории Гиббса рассматривается термодинамическая система и вывод делается на утверждении квазинезависимости подсистем. Я в учебниках не видел оценок влияния зависимости подсистем на конечный результат. Он малый? Верю. Но это для семинарии.
А пока верность теории Гиббса на мой взгляд базируется не на точности вывода, а на том что все следствия согласуются с данными.
Я не утверждаю, что таких оценок (взаимного влияния подсистем и влияние этого на конечный вывод) не существует. Мне бы хотелось об этом прочитать. Если знаете, напишите пожалуйста краткую ссылку.

[photon]

Andrej-V писал(а):

Увы не уверен в истинности ваших, Photon, рассуждений.

При измерениях величин проводят оценку погрешностей. но для оценки погрешностей всегда используют точную формулу, исходя из которой и вычисляют эти погрешности и далее принимают решение о возможности отбрасывания каких-то малых величин.

Но как можно оценить погрешность сверху не зная полной функциональной зависимости.

1) Мой ник photon
2) Если смотреть на физику с точки зрения феноменологии, то точной формулы и не существует - все формулы лишь более-менее точные аппроксимации. Вы о том же и говорите: мы как правило не знаем (в физике, но не в математике) абсолютно точных функциональных зависимостей, и пример с яблоком о том же

[Andrej-V]

Во-первых точные абсолютно формулы существуют.
Законы I=U/R, Ньютона, или Якобиан d(T,S)/d(P,V)=1 и т.д.. Они являются точными потому, что являются по сути определениями (сопротивления, массы, температуры и т.д.). Мало того по мере развития наших представлений эмпирика переходит в определения и следствия из них. Энергия, импульс, момент оказывается следсвием симметрии пространсва - времени. И являются тоже по сути определениями. После СТО становится понятной связь магнитного и электрического полей. Оказыватся что магнитное и электрическое поле это одно и то же только вид разный с разных систем ( правда Фейнман написал что так считать нельзя, но я не понимаю в чем подвох и после разбора текущего вопроса задам по этой теме) И эта связь точна (правда с точность до с, и возможно еще чего-то чего еще до конца не поняли). Может показаться что СТО уточнила формулы для интегралов движения, но она ввела просто новые их определения, которые лучше подходят (экономят пасту) для расчетов в пространстве инвариантном относительно группы Лоренца (долго думали как лучше определить массу). Сама же СТО заключается в открытии новой симметрии. Выяснится еще что-то скорее всего введут новые определения. Затем оказывается что поля тоже следствия симметрии и выводятся из калибровочной симметрии. Т.е. формулы, полученные эксперементально, мало-помалу становятся определениями и потому становятся точны абсолютно.
Конечно это не всегда так.
Теперь о формулах, полученных опытным путем. Они к вопросу не имеют ни малейшего отношения.
Когда их получают, то не знают чего можно отбросить, а чего нельзя. В законе тяготения (в момент его открытия) можно не принимать в рассмотрение цвет Земли, но это не результат оценки погрешности свеху, а опытный факт. Нельзя оценивать то чего не знаешь.
Первоначальный вопрос же ведь не физический, а математический (потому Маковецкий не причем, хотя пример с яблоком не помню и книги здесь нет)). Имеются формулы такие-то
( неважно правильные или нет). Из их комбинации найти такую-то переменную. При этом разрешается отбросить те переменные, роль которых мала.
Я утверждаю: до получения знаний о том как переменные влияют на погрешность в конечной формуле, нельзя знать, что можно отбросить, а что нет. Замена дуги на наклонную плоскость в задаче по ссылке воможна только потому, что известно 1. и 2. см. выше.
Еще раз приведите аргументы, по которым можно не учитывать Землю в неподвижной системе. в задаче, с которой я начал и учитывать в подвижной.
Ну и хотелось бы узнать про 2-й пример с теорией Гиббса.

[photon]

Andrej-V писал(а):

Во-первых точные абсолютно формулы существуют.
Законы I=U/R,

Вы не правы - связь тока и напряжения отнюдь не всегда такова.
Отдельно взятая формула, конечно, может быть при записи в общем виде точна, но расписать точно все компоненты и у честь все абсолютно точно - нельзя.

Andrej-V писал(а):

Энергия, импульс, момент...

Законы сохранения пишутся для замкнутых систем, а таковых не бывает - абстракция и не более.

[Andrej-V]

Связь тока и напяжения всегда такова, ибо это определение сопротивления. Вы путаете формулу с возможной зависимостью R от I или U (или других величин), приводящих иногда к тому что график ф-ии I от U носит нелинейный характер (вследствие зависимости R, сама же формула не мжнт быть неверной). Ну и путаете с законом Ома. Он не в формуле. Отличие абитуриент должен знать.
Определение не может быть нарушено. (На телевизионном диспуте священник сказал, что раньше считали, что паралельные не пересекаются, а теперь доказали, что могут. Вероятно что-то слышал о Лобачевском или Римане. Вы как считаете, могут?).
7 интегралов (E,P,M) движения аддитивны, т.е. их подсчет может вестись по незамкнутым подсистемам. Можно вести и в взимодействующей системе. Сохраняться не будут, но формулы для E,P,M не изменяются.
А как законы сохранения их можно применять когда имются точные знания относительно погрешностей.

[незваный гость]

Можно практический пример? Когда обсуждалось домино, я измерил коэффициент трения (чуть ниже там есть и схема эксперимента). С точностью до трех знаков. Не думаю, что все мне поверили, но я-то знаю -- я слукавил. Нет, эксперимент был честным, и данные я не подтасовывал. Просто не учитывал точность горизонтальности стола. И вариации в весе домино.

Мораль проста -- всякий эксперимент и всякое измерение имеет конечную точность. Все законы, на которые Вы ссылаетесь -- некоторая практичная аппроксимация явлений. По мере роста точности измерений частенько приходиться менять теории. Вряд ли древние греки имели достаточную точность измерений, чтобы поймать релятивистские или квантовые эффекты.

[незваный гость]

Andrej-V писал(а):

7 интегралов (E,P,M) движения аддитивны

А откуда это знание? Свыше?

Простите, но все эти интегралы -- не более чем обобщение опытов, выполненых с конечной точностью.

На биофаке популярен анекдот: "Водятся ли слоны в Архангельской области?" Правильный ответ: "Слоны в Архангельской области пока не обнаружены." Связано это с определнием ареала обитания.

В нашем же случае -- не существует способа доказать физическую теорию. Можно лишь ее опровергнуть. Многочисленные неудачные попытки опровергнуть говорят лишь что в условиях эксперимента теория является неплохим приближением, и не более того.