Решение уравнения Пелля

[tolstopuz]

KORIOLA в сообщении #243776 писал(а):

В примерах, приведенных Ширшовым, числа 13, 109,181 - простые числа. Я знаю решения приведенного уравнения Пелля только для числа n=3 (X=7; Y=4; n=3) и для числа n=5 (X=9; Y=4; n=5). Не берусь утверждать наверняка, но, возможно, для других простых чисел n решения не существует. Все сомнения развеял бы господин Ширшов, если бы он привел хотя бы один пример.

109 и 181 - не его, а мои примеры.

$649^2-13\cdot180^2=1$
$158070671986249^2-109\cdot15140424455100^2=1$
$2469645423824185801^2-181\cdot183567298683461940^2=1$

KORIOLA в сообщении #243776 писал(а):

Да и методики решения тоже нет.

Методика описана практически в любой книге по теории чисел. Но это ж надо читать книги, фи, скукота...

-- Ср сен 16, 2009 14:39:47 --

Кстати, в декабре мне пришлось найти решения для всех $n \le 1000$.
http://projecteuler.net/index.php?secti ... lems&id=66
И ничего страшного, почитал книжку, написал программу и нашел.

[KORIOLA]

tolstopuzy
Я не говорил, что нет методики вообще. Я говорил, что ее, скорее всего, нет у господина Ширшова. А за приведенный пример спасибо. Убедили. Только в уравнении Пелля задача стоит не в нахождении числа n, а в нахождении значения числа Y в функции числа X. И для того чтобы найти решение приведенного мною уравнения Пелля не обязательно читать очень "умные" книжки. Достаточно школьного курса алгебры, хотя, разумеется, книжки надо читать.
P.S. Когда я был молод и глуп, я был очень самолюбив и высокомерен.
Когда я стал старше и поумнел, самолюбие я свел к минимуму, а высокомерие свел к нулю, т.к. понял, что они -разновидность комплекса неполноценности. Не будьте неуважительно самолюбивы и высокомерны в отношениях с людьми. Кстати, в свое время я считал, что тот, кто не прочитал
"Илиады" и "Одиссеи" Гомера, "Божественной комедии" Данте, трагедий Эсхила,
Софокла и Ефрипида, романов Хемингуэя , Ремарка, Вальтера Скотта, Бальзака и многих других европейских и не только европейских авторов, тот малограмотный не заслуживающий общения с ним человек. Позже и в этом отношении изменил свое мнение. Хотя, кстати, хочу спрсить: а Вы то, что я упомянул, читали?
KORIOLA

[tolstopuz]

KORIOLA в сообщении #243845 писал(а):

Я не говорил, что нет методики вообще. Я говорил, что ее, скорее всего, нет у господина Ширшова.

Вы временами путали меня с ним, поэтому трудно было понять, к кому вы обращаетесь.

KORIOLA в сообщении #243845 писал(а):

Только в уравнении Пелля задача стоит не в нахождении числа n, а в нахождении значения числа Y в функции числа X.

Решить уравнение - значит найти все наборы значений входящих в него переменных, при подстановке которых уравнение превращается в верное числовое равенство. Уравнение Пелля - уравнение в целых числах, в котором $n$ является параметром, поэтому решить уравнение Пелля означает при заданном целом $n$ найти все удовлетворяющие ему пары целых чисел $(X, Y)$.

KORIOLA в сообщении #243845 писал(а):

Кстати, в свое время я считал, что тот, кто не прочитал "Илиады" и "Одиссеи" Гомера, "Божественной комедии" Данте, трагедий Эсхила, Софокла и Ефрипида, романов Хемингуэя , Ремарка, Вальтера Скотта, Бальзака и многих других европейских и не только европейских авторов, тот малограмотный не заслуживающий общения с ним человек.

Если он при этом пытается принимать активное участие в обсуждении произведений этих авторов, странно реагирует, когда его отсылают к первоисточникам, и жонглирует словами "самолюбие" и "высокомерие", то ваше мнение недалеко от истины. Но это вы можете обсудить на другом форуме, не связанном с математикой.

[KORIOLA]

tolstopuzy
Надеюсь, обращаюсь по адресу.
Моя методика решения указанного уравнения Пелля, приведенная в начале дискуссии, примитивно проста. В соответствии с ней уравнение решаемо для всех нечетных чисел X. А для всех четных значений решение тоже простое: берете любое четное число, возводите его в квадрат, из полученного числа вычитаете 1 или к полученному числу добавляете 1. Получаете два значения числа X, удовлетворяющих условиям уравнения
Пелля. Таким методом мною получены следующие тройки чисел: (X=1291;
Y=2; n=416670), (X=907; Y=2; n=205662), (X=911; Y=4; n=51870),
(X=277; Y=2; n=19182) и др. Можно, конечно, уравнение Пелля рассматривать как параметрическое с параметром n, но это другой метод решения, который имеет право существовать, но это не единственный метод.
P.S. Своим экскурсом в литературу я хотел сказать тем, кто хвастается своими знаниями в какой-либо узкой области и поэтому проявляет высокомерие в отношении к людям, надо знать, что существуют люди с гораздо более глубокими и обширными знаниями в других областях. И не стоит их поучать.
KORIOLA

[tolstopuz]

KORIOLA в сообщении #244000 писал(а):

Можно, конечно, уравнение Пелля рассматривать как параметрическое с параметром n, но это другой метод решения, который имеет право существовать, но это не единственный метод.

Прежде чем высказывать свои глубокомысленные соображения по поводу уравнения Пелля, прочитайте про него хоть что-нибудь. Вот первое, что попалось под руку:
http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books ... hp#book-13

KORIOLA в сообщении #244000 писал(а):

Своим экскурсом в литературу я хотел сказать тем, кто хвастается своими знаниями в какой-либо узкой области и поэтому проявляет высокомерие в отношении к людям, надо знать, что существуют люди с гораздо более глубокими и обширными знаниями в других областях.

Вам никто не запрещает продолжать общение в других областях на соответствующих тематических форумах.

[sceptic]

гг. Модераторы!
Может быть, отделите обсуждение уравнения Пелля в отдельную тему? А то Семена уже и не видно за KORIOLA .

[tolstopuz]

sceptic в сообщении #244089 писал(а):

гг. Модераторы!
Может быть, отделите обсуждение уравнения Пелля в отдельную тему? А то Семена уже и не видно за KORIOLA .

Кстати да, поддерживаю.

[maxal]

Тема отделена от Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[KORIOLA]

tolstopuz-y
Спасибо за подсказку - прочитал. Но я имел ввиду не все
уравнения Пелля, а конкретное, мною приведенное.
P.S. Все-таки Вы плохо прочитали в моих предыдущих адресованных Вам сообщениях те места, где речь идет о тщесловии и высокомерии. Мол, такие высокие материи, как уравнения Пелля, доступны только "высоколобым". А на самом деле делаете прическу на лысине. Комплексуете, батенька, комплексуете.
KORIOLA

[Коровьев]

Напомню:

tolstopuz в сообщении #243862 писал(а):

Уравнение Пелля - уравнение в целых числах, в котором $n$ является параметром, поэтому решить уравнение Пелля означает при заданном целом $n$ найти все удовлетворяющие ему пары целых чисел $(X, Y)$.

Так, и только так надо понимать, что значит решить это уравнение. Остальное от лукавого.
Основная задача, и самая трудная, - найти минимальное решение. Все остальные находятся по формулам которые я приводил.
Это следует из теории алгебраических целых чисел.
Для квадратичных форм, если существует не тривиальная единица, то только одна, основная. Все остальные - есть её степени.
Но чтобы находить начальное решение не методом перебора и не мат.программой, мало быть
"высоколобым" с причёской на лысине. Надо ещё знать теорию цепных дробей. Именно с помощью их и находится это решение. Это умел делать Ферма.
Вообще же, все решения этого уравнения есть числитель и знаменатель подходящих дробей $x=P_{kn - 1}, y=Q_{kn - 1} $ разложения $\sqrt d$ в цепную дробь, где $k$ период цепной дроби, $n$ - любое целое.
Но зная минимальное решение с формулой проще.

[tolstopuz]

KORIOLA в сообщении #244230 писал(а):

tolstopuz-y
Спасибо за подсказку - прочитал.

Видимо, все-таки не прочитали. Иначе заметили бы фразу "Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей...", после которой ваше очередное упоминание "высоколобых" выглядит особенно смешно и, видимо, указывает на какие-то ваши глубинные комплексы, зародившиеся еще в школьные годы.

KORIOLA в сообщении #244230 писал(а):

Но я имел ввиду не все уравнения Пелля, а конкретное, мною приведенное.

Этой фразой вы опять показываете, что не прочитали. В конкретном уравнении Пелля вместо $n$ должно число стоять. Какое в приведенном вами примере число стоит вместо $n$?