Счетность рациональных чисел.

[ИС]

Вот подскажите в чем здесь ошибка???

Каждому натуральному числу 1, 2, 3 и тд можно поставить в соответствие рациональное число 1, 2, 3 и тд... И тогда получаеться что каждому натуральному числу соответствует одно из рациональных чисел, причем незадействованных рациональных чисел остаеться еще больше чем задействованных. Например рациональные числа находящиеся между 1 и 2, 3 и 4, и тд. Да еще и отрицательные рациональные числа... Т.е. получаеться что рациональных чисел всетаки больше чем натуральных и не получаеться сопоставить каждому рациональному числу свое натуральное, значит количество рациональных чисел несчетно...

[ewert]

ИС в сообщении #244066 писал(а):

Вот подскажите в чем здесь ошибка???

Вот в чём. Вы утверждаете, что можно установить биекцию между натуральными числами и некоторым подмножеством рациональных. И это, разумеется, верно. Но из этого вовсе не следует, что нельзя установить биекцию между натуральными числами и всеми рациональными. Биекции-то разные бывают.

[gris]

На самом деле всё гораздо хуже.

Каждому натуральному числу 1, 2, 3 и тд можно поставить в соответствие целое число 1, 2, 3 и тд... И тогда получаеться что каждому натуральному числу соответствует одно из целых чисел, причем незадействованных целых чисел остаеться еще больше чем задействованных. Например 0 да еще и отрицательные целые числа... Т.е. получаеться что целых чисел всетаки больше чем натуральных и не получаеться сопоставить каждому целому числу свое натуральное, значит количество целых чисел несчетно...

[ewert]

gris в сообщении #244073 писал(а):

, значит количество целых чисел несчетно...

gris, Вы всё-таки так-то уж не шутите...

[Профессор Снэйп]

Если каждому натуральному числу $n$ поставить в соответствие натуральное число $n^2$, то окажется, что натуральных чисел меньше, чем натуральных!

В. Пелевин писал(а):

И как же ты, Петька, дошёл до жизни такой, что спрашиваешь меня, своего боевого командира, верно ли, что всё, что происходит у тебя в голове, происходит у тебя в голове?

[ИС]

ewert
Т.е. получаеться что ВСЁ множество рациональных числе не мощнее подмножества целых положительных рациональных числе множества рациональный чисел. О_о
Звучит адски дико!

[gris]

Натуральных меньше, говорите? Ну так к этому-то вроде бы как и идёт потихонечку.
Да... Числа считать - это не танчики клеить

[ИС]

Профессор Снэйп в сообщении #244077 писал(а):

Если каждому натуральному числу $n$ поставить в соответствие натуральное число $n^2$, то окажется, что натуральных чисел меньше, чем натуральных!

XD

[ewert]

ИС в сообщении #244080 писал(а):

ewert
Т.е. получаеться что ВСЁ множество рациональных числе не мощнее подмножества целых положительных рациональных числе множества рациональный чисел. О_о
Звучит адски дико!

Это не дикость, а просто теорема Кантора-Бернштейна: если первое множество не мощнее второго, а второе не мощнее первого, то их мощности совпадают.

[arseniiv]

А объединение счётного числа счётных множеств счётно или уже не всегда? Знаю про конечное счётных и про счётное конечных - счётное.

[worm2]

ИС,
эти парадоксы просто говорят нам о том, что понятие количества, определённое на конечных множествах объектов, нельзя (без ущерба для всех свойств этого понятия) перенести на бесконечные множества. В теории множеств принято рассматривать понятие мощности в качестве аналога количества для бесконечных множеств. Мощность не обладает свойством "Часть всегда меньше целого" (справедливым для количества). Не исключаю, что можно придумать какое-нибудь другое понятие, для которого свойство "Часть всегда меньше целого" останется справедливым и для бесконечных множеств, но тогда каким-нибудь другим свойством придётся пожертвовать.

[Профессор Снэйп]

arseniiv в сообщении #244180 писал(а):

А объединение счётного числа счётных множеств счётно или уже не всегда? Знаю про конечное счётных и про счётное конечных - счётное.

С аксиомой выбора --- всегда!

Без аксиомы выбора... да вроде тоже верно. По крайней мере, я пока не вижу подвоха. Хотя и не исключаю собственной невнимательности.

[arseniiv]

Ах да, точно! Придумал биекцию. Получается, если представить объединение множеств как бесконечную квадратную матрицу с имеющимся одним краем. С него как раз и пересчитаем. Как и рациональные примерно. Всё верно, аксиома выбора ни при чём

-- Чт сен 17, 2009 22:11:34 --

Как доказать формально, не знаю. Было бы прекрасно, если бы кто-нибудь показал

[RIP]

Без аксиомы выбора нельзя даже доказать, что счётное объединение двухэлементных множеств не более чем счётно, а множество (всех) действительных чисел вполне может оказаться счётным объединением счётных множеств.
(Информация из разных внушающих доверие (мне ) источников; доказательств не знаю.)

[ewert]

RIP в сообщении #244200 писал(а):

Без аксиомы выбора нельзя даже доказать,

Без какой именно аксиомы выбора?