вычислить

[daogiauvang]

$Z=\max\limits_{0\leq x \leq 1} \left( \min\limits_{0 \leq y \leq 1}(x+y -1)^2 \right)-\min\limits_{0\leq y \leq 1} \left( \max\limits_{0 \leq x \leq 1}(x+y -1)^2 \right)$

[nn910]

-0,25. А в чем прикол :?:

[daogiauvang]

Как это полуилось???

[Sasha2]

А мне кажется, что не так.
Фиксируем в первой скобке x и рассматриваем квадратный трехчлен относительно y.
Минимум достигается в точке (1-x). В этой точке этот трехчлен равен 0.
Следовательно и максимум первой скобки равен нулю.

Аналогично разбираем и вторую скобку.
Там максимум достигается на границе указанного отрезка. То есть равен или у^2 или (1-y)^2.
Но минимум опять же равен нулю.

Ответ: Ноль.

[nn910]

daogiauvang в сообщении #243712 писал(а):

$Z=\max\limits_{0\leq x \leq 1} \left( \min\limits_{0 \leq y \leq 1}(x+y -1)^2 \right)-\min\limits_{0\leq y \leq 1} \left( \max\limits_{0 \leq x \leq 1}(x+y -1)^2 \right)$

$ \min\limits_{0 \leq y \leq 1}(x+y -1)^2 =0$при каждом $0 \leq x \leq 1$
$\max\limits_{0 \leq x \leq 1}(x+y -1)^2 = max ((y-1)^2 , y^2)$так как у положительно направленной параболы максимум в концах отрезка. График полученной функции от y склеен из двух кусков парабол в точке склейки y=0.5 минимум =0.25.Sasha2
Ответ -$Z=\max\limits_{0\leq x \leq 1} \left( \min\limits_{0 \leq y \leq 1}(x+y -1)^2 \right)-\min\limits_{0\leq y \leq 1} \left( \max\limits_{0 \leq x \leq 1}(x+y -1)^2 \right)=-0.25$

[Профессор Снэйп]

У меня получился ответ $-1/4$.

-- Ср сен 16, 2009 19:26:02 --

nn910 прав.

[nn910]

Вспомнилась задача на те же минимаксы. Человеку осталось снести одну карту на мизере, а дырок у него 2 ,ловленых с вероятностями p и q соответственно. Доказать, что при$|\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{q}| > 1$ наилучшей стратегией является снос наибольшей дырки, в противном случае- проведение некоего вероятностного эксперимента

[Sasha2]

Ну так а чего Вы там склеиваете.
Это же не одна функция.
Замените во втором выражении буквы x и y на, скажем z и w.
И получите ноль.
По моему каждое выражение считается независимо.

[nn910]

Sasha2 в сообщении #243854 писал(а):

Ну так а чего Вы там склеиваете.
Это же не одна функция.
Замените во втором выражении буквы x и y на, скажем z и w.
И получите ноль.
По моему каждое выражение считается независимо.

Да я согласен что независимо.И занимаюсь только внутренним максимумом только во втором слагаемом,как неравенством с параметром у. Максимум такой параболы достигается на границе отрезка и равен максимальному из чисел $y^2$,$(1-y)^2$А уж хотя бы одно из них не меньше 0.25

[Профессор Снэйп]

Типичная конкурсная задача. Похожие пачками давались на вступительных в НГУ (когда ещё не было ЕГЭ).

[Sasha2]

Интересно, а как это минимум выражения из y^2 и (1-y)^2, когда y меняется от 0 до 1 может быть равен одной четверти. Ноль в обоих случаях.
Или я просто элементарно чего то не понимаю или понимаю по другому. Поясните, пожалуйста.

[Профессор Снэйп]

Sasha2 в сообщении #243892 писал(а):

Интересно, а как это минимум выражения из y^2 и (1-y)^2, когда y меняется от 0 до 1 может быть равен одной четверти. Ноль в обоих случаях.
Или я просто элементарно чего то не понимаю или понимаю по другому. Поясните, пожалуйста.

Ага. Элементарно не понимаете

Требуется посчитать не "минимум выражения", а минимум максимумов из значений двух указанных выражений. У нас $\max\limits_{y \in [0,1]} \{ y^2, (1-y)^2 \}$ всегда $\geqslant 1/4$ и значение максимума $1/4$ достигается при $y=1/2$.

[Sasha2]

Спасибо. Теперь понял.

[nn910]

daogiauvang в сообщении #243712 писал(а):

$Z=\max\limits_{0\leq x \leq 1} \left( \min\limits_{0 \leq y \leq 1}(x+y -1)^2 \right)-\min\limits_{0\leq y \leq 1} \left( \max\limits_{0 \leq x \leq 1}(x+y -1)^2 \right)$

До приколов так и не добрались.Но все еще хочется.
$Z=\max\limits_{0\leq x \leq 1} \left( \min\limits_{0 \leq y \leq 1}f(x,y) \right)-\min\limits_{0\leq y \leq 1} \left( \max\limits_{0 \leq x \leq 1}f(x,y) \right)\leq0$
1.Докажите это для любой непрерывной f(x,y)
2.Докажите для любой ограниченной f(x,y)
$Z=\sup\limits_{0\leq x \leq 1} \left( \inf\limits_{0 \leq y \leq 1}f(x,y) \right)-\inf\limits_{0\leq y \leq 1} \left( \sup\limits_{0 \leq x \leq 1}f(x,y) \right)\leq0$
3*.Охарактеризуйте класс дважды непрерывно дифференцируемых f(x,y) таких,для которых Z=0

[Sasha2]

А вот еще прикол.
Собрали скажем 300 человек разного роста и рассадили их в ряды 15 (горизонталь) на 20 (вертикаль).
Прошли по горизонтальным рядам и выбрали в каждом самого низкого.
Затем прошли по вертикальным рядам и выбрали самого высокого.
Кто выше, самый высокий из самых низких или самый низкий из самых высоких?

Не из той ли оперы первый вопрос?