Производные Фреше, Гато

[Alexey1]

Стараюсь разобраться с производными Гато и Фреше. Понятно, что означает, если функция Гато дифференцируема. А вот с Фреше сложнее. Я привёл моё понимание Гато дифференцируемости, и определение Фреше дифференцируемости. Но вот не понятно, что означает (словами) Фреше дифференцируемость . Подскажите.
Пусть $F : X \rightarrow Y$, где $X,Y$ банаховы пространства.
Дано определение производной по направлению:
$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{F((x_0)+hv)-F(x_0)}{h}=F'(x_0)(v)$ при условии что предел существует.

Гато: Функция $F$ называется Гато дифференцируемой в точке $x_0$ если производные по направлению в точке $x_0$ существуют $\forall v \in X$ и $F'(x_0)(v)$ линейная и непрерывная функция от $v$ (в лекции записано $v \rightarrow F'(x_0)(v)$ непрерывная и линейная, правда стрелочка другая с вертикальной чертой в начале, кстати что это означает?)
Отсюда понятно, что для того, чтобы $F$ была Гато дифференцируемой необходимо, чтобы производная по направлению была определена для всех направлений и была непрерывной и линейной функцией от направления.
А вот можно ли сказать что-то такое же простое (словами, не формулами) про Фреше?

Фреше: Функция $F$ является Фреше дифференцируемой в $x_0$, если
$\lim_{v\rightarrow 0} \left | \frac{F(x_0+v)-F(x_0)-vF'(x_0)(v)}{||v||_X} \right | = 0$.

[gris]

У вас в последнем выражении перед $F'$ должна стоять $v$, чтобы $F'$ называлась производной, а в знаменателе тоже норма в $Y$..

$F'$ должнa быть линейным оператором и тогда существование производной по Фреше означает дифференцируемость функции в классическом смысле, то есть существование ограниченного линейного оператора - дифференциала Фреше vF'- приближающего приращение функции при $v\to 0$.

Из Фреше следует Гато, но не наоборот.
Если производная Гато существует в окрестности $x_0$ и непрерывна в $x_0$, то существует производная по Фреше.

[Alexey1]

Спасибо за ответ.

gris в сообщении #243723 писал(а):

У вас в последнем выражении перед $F'$ должна стоять $v$,.

я правильно исправил? И кстати, а почему она не может называться производной если $v$ не поставить? Там после $F'$ $v$ стоит. Почему этого не достаточно?

gris в сообщении #243723 писал(а):

а в знаменателе тоже норма в $Y$.

Вы имели ввиду норма в $X$?

gris в сообщении #243723 писал(а):

$F'$ должно быть линейным оператором и тогда существование производной по Фреше означает дифференцируемость функции в классическом смысле, то есть существование линейного оператора, приближающего приращение функции - дифференциала Фреше $vF'$.
.

Если функция дифференцируема, то тогда можно использовать дифференциал (линейный оператор), для приближения её приращения. То есть по Вашему объяснению, функция является Фреше дифференцируемой (линейный оператор существует и является дифференциалом). Теперь предположим, что функция является Фреше дифференцируемой, то есть существует линейный оператор приближающий значение функции. Разница может быть в том, что этот оператор может не совпадать с дифференциалом?
Или дифференцируемость функции подразумевает дифференцируемость по Фреше и наоборот? Но в чём тогда разница Фреше с обычной дифференцируемостью?

[gris]

У Вас $v$ стоит в скобочках, что можно понимать как то что оператор $F'(x_0)$ зависит ещё и от $v$, как это подразумевается в Вашем определении производной по Гато.
В знаменателе дело происходит уже в пространстве $Y$ и норму надо брать в этом пространстве. А общий модуль не имеет смысла без нормы знаменателя.
Дифференциал Гато можно рассматривать как операторную функцию от $x$ в окрестности $x_0$. Она может не являться непрерывной по $x$.
А если она непрерывна по $x$ в $x_0$, то это будет дифференциал Фреше.

Я бы написал так:

$$\lim_{v\rightarrow 0} \frac{||F(x_0+v)-F(x_0)-F'(x_0)v||_Y}{||v||_X} $$

Ведь $F'(x_0)$ не зависит от $v$

[Alexey1]

У меня наверное много вопросов, но хочется разобраться.
1. $v$ попало в скобочки после определения производной по направлению, и наверное, действительно подразумевает зависимость $F'(x_0)$ от $v$ (подставляетм разные направления, и получаем разные значения производной). И всё таки зачем надо умножать $F'(x_0)(v)$ на $v$, то есть $vF'(x_0)(v)$?
2. В википедии http://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_derivative никакого умножения почему-то нет, и норма в знаменателе берётся в пространстве аргемента $F$, то есть $X$. Это тоже самое или где-то ошибка?
3. В определении которое я привёл, Гато определена как линейная и непрерывная функция. Фреше тоже линейная. В чём же разница?
4. Что означает запись $x \rightarrow F'(x_0)(v)$, но стрелочка имеет вертикальную черту слева?
Ещё раз спасибо.

[gris]

1. Если под $F'(x_0,v)$ понимать дифференциал, то не надо умножать. Но Вы, по-моему, под $F'$ понимаете всё же производную. Ну как то принято обозначать через $F'$ именно производную отображения.

2. Ой. Я перепутал числитель и знаменатель! Прошу прощения. В числителе норма в $Y$, а в знаменателе в $X$, как я и написал в предыдущем сообщении.

-- Ср сен 16, 2009 10:07:30 --

3. обозначение $\mapsto$

-- Ср сен 16, 2009 10:10:20 --

ewert знает, почему в английской википедии дифференциал Фреше называется "derivative". Я не понял.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #243733 писал(а):

зачем надо умножать $F'(x_0)(v)$ на $v$, то есть $vF'(x_0)(v)$?

Так не надо делать, и никто так не делает. Надо или $F'(x_0)(v)$, или $F'(x_0)v$. В обоих случаях имеется в виду действие оператора $F'(x_0)$ на элемент $v$. Обычно скобки принято опускать, если оператор линеен. И категорически нельзя "умножать" на $v$ слева.

Alexey1 в сообщении #243733 писал(а):

Что означает запись $x \rightarrow F'(x_0)(v)$, но стрелочка имеет вертикальную черту слева?

"$\mapsto$" означает "переходит в" или "переводится в", в то время как "$\rightarrow$" -- это "стремится к".

[Alexey1]

Скажите а правильно ли будет следующее. В пространстве $R^n$ имеем понятие дифференциала как линейного приращение. В банаховом пространстве обобщаем это понятие, понятием дифференциала Фреше, как линейного приращения.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #243739 писал(а):

Скажите а правильно ли будет следующее. В пространстве $R^n$ имеем понятие дифференциала как линейного приращение. В банаховом пространстве обобщаем это понятие, понятием дифференциала Фреше, как линейного приращения.

Только не "линейное приращение" (это бессмысленно), а "главная линейная часть приращения". И не то что бы обобщаем, а просто переписываем дословно.

[gris]

В только я сам разобрался, как ewert меня опередил/
И я с ним согласен. Если понимать $F'(x_0)(v)$ как результат действия оператора $F'$ на $v$, то Вы правы.
Извините, что напутал с умножением. Самобан до конца дня для изучения математики .

Остаюсь верен мнению о нормах и тому, что производная Гато, чтобы стать производной Фреше, должна существовать в окрестности точки дифференцирования и как переменный оператор, зависящий от $x$, быть непрерывной в этой точке при $x\to x_0$, то есть иметь предел по любой совокупности точек.

[Alexey1]

Есть пример, где показыается, что в точке функция может иметь производные по всем направлениям, но не быть дифференцируемой в точке. Верно ли, то же самое но для производных Гато и Фреше? То есть, даже если производная Гато является линейной функцией направления $v$, то это ещё не означает, что она совпадает с производной Фреше.

[Профессор Снэйп]

Alexey1 в сообщении #243733 писал(а):

4. Что означает запись $x \rightarrow F'(x_0)(v)$, но стрелочка имеет вертикальную черту слева?

Для произвольной функции $f$ запись $f : a \mapsto b$ означает, что значение $f$ на аргументе $a$ равно $b$. То есть то же самое, что и равенство $b= f(a)$ В \LaTeX это записывается так:

$f : a \mapsto b$

-- Ср сен 16, 2009 17:15:09 --

ewert в сообщении #243738 писал(а):

...в то время как "$\rightarrow$" -- это "стремится к".

Не обязательно "стремится". Часто "простую стрелку" используют просто для обозначения функции, рисуя её между множеством аргументов и множеством значений. Например, $f : A \to B$. При этом если $f(a)=b$ для $a \in A$ и $b \in B$, то, как я уже указал выше, пишут $f : a \mapsto b$.

[CowboyHugges]

Alexey1 в сообщении #243745 писал(а):

То есть, даже если производная Гато является линейной функцией направления $v$, то это ещё не означает, что она совпадает с производной Фреше.

Это ещё не означает что производная по ФРеше вообще существует (если производная по Фреше существует то она производной по Гато равна наверняка)