Дисперсия комплексной случайной величины.

[st256]

От я приплыл...

Открываю учебник и вижу, что дисперсия комплесной случайной величины $z$, оказывается всегда действительное положительное число и считается по формуле:

$D[z]=M[|z-M[z]|^2]$

Нас-то учили, что это второй центрированный момент, а он может быть комплексным. Ну, блин, это мощность наконец, которая может быть комплексной! вот какая фигня получается... Типа скалярное произведение может и не быть скаляром (а быть чисто конкретной случайной величиной), а дисперсия быть скаляром просто обязана?...

Люди добрыя, поможите, кто чем способен! Откуда такие разночтения!!!

[Хорхе]

Кроме формулы, ничего не понял.

Тем не менее, в чем проблема? Под знаком математического ожидания стоит модуль -- положительное действительное число.

[st256]

Ничего страшного. Я тоже ничего не понял. Теперь будем не понимать вместе

[Горьковчанин]

Поскольку здесь мы имеем дело с расширением понятия на новую область (комплексных величин), мы должны стараться распространить важные свойства.Например, дисперсию можно определить двояко: либо непосредственно как второй центральный момент, либо как ковариацию межде случайной величиной и ей самой. Известно также, что значок $(\xi, \eta)=\mathsf{M}(\xi \eta)$ на множестве классов эквивалентных действительных случайных интегрируемых с квадратом величин определяет скалярное произведение и превращает его в гильбертово пространство. Для случайных комплекснозначных величичин скалярное выражение необходимо определить как $(\xi, \eta)=\mathsf{M}(\xi \bar\eta)$, где черта сверху означает комплексное сопряжение. Тогда ковариация в комплекснозначном случае определяется как $\mathsf{cov}\,(\xi,\eta)=\mathsf{M}(\xi-\mathsf{M}\xi)\overline{(\eta-\mathsf{M}\eta)}$, что приводит в конце концов к Вашему определению дисперсии. В частности, дисперсия снова оказывается действительной и может характеризовать разброс. Я не представляю себе, что такое моглы бы означать "комплексный разброс", например. Очень удачно, что для комплексных случайных величин разброс все еще характеризуется дейстивтельным числом.

[rishelie]

Можно даже проще выразиться. Есть такое понятие - среднеквадратическое отклонение. Которое, понятное дело, должно быть действительным неотрицательным числом, как любое расстояние. Его квадрат и есть дисперсия, или, среднее значение квадрата расстояния с.в. $z$ от ее среднего $\mathsf{M}z$, т.е. $\mathsf{M}|z-\mathsf{M}z|^2$.
И просто замечательно, что это определение согласуется с определениями скларного произведения и нормы на комплексных пространствах.

[Горьковчанин]

rishelie в сообщении #243511 писал(а):

Есть такое понятие - среднеквадратическое отклонение. Которое, понятное дело, должно быть действительным неотрицательным числом, как любое расстояние.

Если бы мы согласились, что дисперсия выражается числом комплексным, почему бы не согласиться выражать и среднеквадратичное отклонение комплексным числом - корни-то гарантированно извлекаются? Да, не однозначно, но что-нибудь придумали бы. Тогда вместо использования разброса для круга наиболее вероятных значений можно было бы использовать прямоугольник, указываялевый нижний и правый верхний угол например. В случае действительного среднеквадратического отклонения прямоугольник элементарно выражается в отрезок (нулевой толщины, то есть)

[venco]

Горьковчанин в сообщении #243551 писал(а):

Если бы мы согласились, что дисперсия выражается числом комплексным, почему бы не согласиться выражать и среднеквадратичное отклонение комплексным числом - корни-то гарантированно извлекаются? Да, не однозначно, но что-нибудь придумали бы. Тогда вместо использования разброса для круга наиболее вероятных значений можно было бы использовать прямоугольник, указываялевый нижний и правый верхний угол например.

Тогда уж не прямоугольник, а эллипс.