Исключение движения и вращения системы тел

[Ulrih]

Приветствую форумчан!

У меня вопрос возник.
Имеется четыре шарика $m_i, \quad i=1,2,3,4$, взаимодействующие между собой каким-то образом. Радиус векторы задающие их положение $\vec r_i$. Но дело не в этом. Как следует из заглавия поста, меня интересует исключение движения центра масс системы и вращения как целого.

Первые уравнения я пишу легко:

$$ \vec r_c = \frac{\sum{m_i \vec r_i}}{\sum{m_i}} = 0\quad (1-3) $$

$$ \vec p_c = \frac{\sum{m_i \vec p_i}}{\sum{m_i}} =0 \quad (4-6) $$

$$ \vec L = \sum_{i=1}^{4}{[\vec r_i, \vec p_i]}=0 \quad (7-9) $$

$$ | \vec L | = |\vec r|*|\vec p|*\sin{( \vec r, \vec p)} = 0 \quad (10) $$

$$ f(\vec r_i, \vec r_k) = r_{ik}, \quad i \ne k \quad (11-16) $$

$$ v(\vec p_i, \vec p_k) = \dot{r}_{ik}, \quad i \ne k \quad (17-22) $$

Уравнения (1-3) и (4-6) для центра-масс в начале отсчета.
Уравнения (7-9) исключают вращение системы.
Уравнение (10) показывает, что модуль момента импульса равен нулю (здесь: $\vec r = \sum{\vec r_i}$ и $\vec p = \sum{\vec p_i}$)
Уравнения (11-16) описывают начальную геометрию системы: $f(\vec r_i, \vec r_k) = \sqrt{(x_i - x_k)^2 +(y_i - y_k)^2 + (z_i - z_k)^2}$, число $r_{ik}$ --- задано.
Уравнения (17-22) задают начальные скорости относительного движения: $v(\vec p_i, \vec p_k) = \sqrt{(p_{ix} - p_{kx})^2 +(p_{iy} - p_{ky})^2 +(p_{iz} - p_{kz})^2}$, число $\dot{r}_{ik}$ --- задано.

Необходимо очевидно разрешить систему уравнений относительно новых координат и новых компонент скоростей --- $\vec{r}_{new}$ и $\vec{p}_{new}$. Число переменных = 24, уравнений составлено 22.
Ломаю голову над еще двумя уравнениями... Если кто сталкивался с такой проблемой - подскажите, буду крайне признателен.

Лирическое отступление.
Для системы двух тел с массами $m_1$ и $m_2$, соответственно, написание аналогичных уравнений привело к ожидаемому интуитивно правильному ответу. А именно, писались уравнения:

$$ \vec r_c = \frac{\sum{m_i \vec r_i}}{\sum{m_i}} =0 \quad (1-3) $$

$$ \vec p_c = \frac{\sum{\vec p_i}}{\sum{m_i}}=0 \quad (4-6) $$

$$ \vec L = [\vec r, \vec p] = 0 \quad (7-9) $$

$$ |\vec L| = r*p* \sin{(\vec r, \vec p)} = 0 \quad (10) $$

$$ f(\vec r_i, \vec r_j) = R \quad (11) $$

$$ v(\vec p_i, \vec p_j) = \dot{R} \quad (12) $$

Итого, 12 уравнений и 12 же неизвестных.
Так что я думаю, отталкиваясь от этой идеи можно приблизиться к правильному ответу.

[В. Войтик]

Ну Вы даёте....
В Ваших уравнениях вообще не входит взаимодействие частиц.
Понимаете есть такие характеристические функции: лагранжиан и гамильтониан. Движение системы частиц описывается определёнными дифурами с помощью этих функций. В общем почитайте ЛЛ т.1.
На Ваш конкретный вопрос можно так ответить. Можно выбрать такую систему отсчёта, что общий импульс будет равен 0, но нельзя в общем случае выбором системы отсчёта избавиться от момента.

[Ulrih]

В. Войтик

Про Лагранжеву и Гамильтонову систему я знаю, знаю даже где плюс, а где минус
ЛЛт.1 у меня тоже есть и мало того - читан мною
Почему же нельзя избавиться от момента?? Потому что это неголономная система, Вы это имеете в виду?


А в системе двух тел я обошелся без лагранжевых функций. Но получил верный ответ...

[В. Войтик]

Ulrih в сообщении #243501 писал(а):

Про Лагранжеву и Гамильтонову систему я знаю, знаю даже где плюс, а где минус
ЛЛт.1 у меня тоже есть и мало того - читан мною

Очень хорошо. Тогда Вы должны понимать, что система взаимодействующих частиц описывается например системой канонических уравнений или системой уравнений Лагранжа. Эти уравнения независимы друг от друга.
Те уравнения, что у Вас написаны выше или неправильны или не являются независимыми. А именно (7)-(9) в общем случае не выполняются. Если Вы выбираете такую механическую систему, что общий момент равен 0, то (10) следует из (7)-(9)
Далее... если $r_{ik}$ заданное число, то видимо система 4 частиц у Вас жёсткая?
Если да, то это глава посвящённая вращению твёрдого тела. Если нет (т.е. это некоторая заданная функция времени), то возникает вопрос каким образом она Вам известна без решения уравнений движения?
Уравнения (17)-(22) вообще мне непонятны.

Ulrih в сообщении #243501 писал(а):

Почему же нельзя избавиться от момента?? Потому что это неголономная система, Вы это имеете в виду?

Нет. Орбитальный момент можно изменить либо сдвигом, либо переходом в
систему отсчёта, которая двигается относительно первоначальной системы. Внутренний же момент механической системы есть инвариант. Ваша система 4-частиц в общем случае имеет внутренний момент.

Ulrih в сообщении #243501 писал(а):

А в системе двух тел я обошелся без лагранжевых функций. Но получил верный ответ...

Т.е. Вы решили задачу 2 тел без потенциальной энергии взаимодействия ...

[Lyoha]

Ulrih в сообщении #243382 писал(а):

Как следует из заглавия поста, меня интересует исключение движения центра масс системы и вращения как целого.

Допустим, вы прешли в СО, где импульс системы $P=0$, а момент импульса $L \neq 0$. Легко заметить, что при перемещении начала координат на $R$ (скорость СО изменять нельзя, чтобы оставить нулевой импульс) $\Delta L = - [\Delta R,P]$. А так как импульс нулевой, то момент останется неизменным. Т.е. в общем случае нельзя выбором системы отсчёта одновременно занулить и импульс, и момент. Если подразумевается, что надо остаться в инерциальной системе.

[Munin]

Ulrih в сообщении #243501 писал(а):

А в системе двух тел я обошелся без лагранжевых функций. Но получил верный ответ...

Вы не получили верного ответа. Вы не получили вообще никакого. Вы просто получили совпадение числа переменных с числом уравнений. К сожалению, вы не знаете, что движение находится решением дифференциальных уравнений, а для того, чтобы их решить, число переменных должно совпадать с числом уравнений при любом значении аргумента. То есть уравнения начальных условий не учитываются, а учитываются только дифференциальные уравнения движения и всегда выполняющиеся соотношения (связи, законы сохранения, замены переменных и т. п.). Таким образом, из 12 ваших уравнений остаются только 9: (11) и (12) задают начальные условия, а (10) не независимо от (7-9). Не хватает вам уравнений, задающих силу взаимодействия между частицами, и очевидно, если эту силу не задать, решения получить нельзя. Для разных сил будут разные решения (можно сравнить свободные точки и связанные осцилляторным потенциалом).

Если бы вы не просто выписывали уравнения, а попытались их решить, вы бы сразу сами всё это поняли.