Числовые ряды.

[LynxGAV]

Вчера встретился интеграл $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\nu^3}{e ^\frac{h\nu}{kT}-1}d\nu$. Обезразмерив $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e ^x-1}dx$ через геом прог и гамма-функцию свела к ряду $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$. Для физиков важно, что энергия растет пропорционально четвертой степени температуры, а ряд - просто число. Мне врезалось в память, что в общем виде такой ряд кто-то называл Riemann zeta funct, но вроде как Riemann zeta series. И интересовала нас только сходимость. Отаке $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ посчитала разложением функции $f(x)=Ax^2+Bx+C$ $(0< x < 2\pi); A, B, C - const$ в Fourier series. Для четвертой степени cчитается разложением другой функции и дает $\frac{\pi^4}{90}$. Но, по-моему, это больше похоже на тыкание пальцем в небо. Просветите пожалуйста на словах, как считаются суммы подобных числовых рядов. Есть ли какой-то "стандарт"? A то сегодня помнишь, что на 90, а завтра уже нет, а такое обезразмеривание встречается на каждом шагу. Обычно просто пишут Fizicheskaya_Velichina=Nabor_Fizicheskih_Velichin x chislo, gde chislo - integral, ryad i t.p.

[незваный гость]

Не знаю, правильно ли понял, но если интересует $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\nu^a}{e ^\frac{h\nu}{kT}-1}d\nu$, то он равен $\left(\frac{k T}{h}\right)^{a+1}\Gamma(a+1)\,\zeta(a+1)$. Функция Римана $\zeta(a)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k^{-a}$ сходится при $a>1$, и обладает массой других приятных и полезных свойств (кроме определения). Ее производящая функция $Li_a(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k^a}$ тоже весьма популярна в физике.

http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html

Или вопрос в том, как считать функцию Римана?

[LynxGAV]

Интегралы встречаются разные. Например, знаменатель (exp(x) - 1) может быть в какой-то степени. Что-то можно дописать в числителе. Но все они сначала интегрированием по частям, или другими методами, сводятся к числовым рядам. Если меня прижмут к стенке (например, на экзамене) и надо будет получить численное решение, то вариант с консультациями не пройдет. Mаксимум понимания, минимум запоминания. (А ссылка - бомбезная! Большое Вам спасибо.) Вычисление же через разложение в ряд Фурье кажется мне искусственным. Ну попадется что-нибудь "страшненькое" и что я тогда буду раскладывать? Методом научного тыка?

Цитата:

сходится при a>1

Aга, и расходится при а<=1
Kaк говорил один мой преподаватель: "Хорошо хоть, что начали "копать" - понаходили у себя ошибки."
Хорошо хоть, что выяснили, что "функция"(но в литературе я встречала и ряд). Сути дела правда не меняет.
Подсказка на "как считать zeta-функцию" (в частности для a=2,4,6,..) возможно содержится у Эрика В.В., но я еще не смотрела.

[LynxGAV]

Для ясности.
Задача с моим "суповым набором" (гамма, бета, дельта, гипергеом. функции, нормы полиномов, теоремы мат. анализа и т.п. что учили + то, что можно быстро получить на бумаге) уметь вручную считать функцию Римана. Как проще всего?

[незваный гость]

В серости своей, могу предложить немногое: $\zeta(n)=\frac{{(2\pi)}^n\,|B_n|}{2 \ n!}$, (где $B_n$ - число Бернули) при четном $n$. При нечетном же $n$ аналитической зависимости и вовсе неизвестно. $B_n$, однако, весьма каверзны, и, хотя встречаются достаточно часто (например, разложение в ряд тангенса), компактного и легко запоминаемого метода вычисления не имеют. Самое простое - уравнение $\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_n^k\,B_k = 0$, B_0=1.Так что выход один - шпаргалка... ну, или выводить, долго и мучительно . Я, однако, думаю, коли Вы напишите $\zeta(84)$ на экзамене, никто Вас не осудит строго.

Еще одна ссылочка:
http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumber.html

P.S. Простите уж грешнику, что про функцию "сходится" написал. Вы, разумеется, правы, сходится ряд, определяющий функцию. А что касается условия $a>1$, то оно более содержательно, это область определения функции, ну или, по крайней мере, область действия данного определения функции. Просто по ассоциации (если позволено мне будет столь ученое слово употребить) вспомнилась старая задача для первокурсников - посчитать производную $\ln\,\ln\,\sin\,x$. И ведь многие попадались...

[LynxGAV]

Otoj.Prosmotrela ya beglo i podumala "Eti chisla v moi supovoi nabor ne voshli..." Zato matematicheskaya kul'tura povishaetsya.
Chestno skazat', ya sama sebe ploho predstavlyayu, na kakom ekzamene ot menya mogut takoe potrebovat'. Da i ekzamenov-to, kak takovih, uje net. Znaete, schitat' tenzor Rimana dlya zadannoi metriki - skuchneishee zanyatie. No, kak govoritsya, hotya bi raz v jizni vikladki nado prodelat'. (Vipolni svoi dolg, a tam bud' chto budet.)
V dannom je primere idet rech' o energii, a ee absolutnoe znachenie samo po sebe smisla ne imeet, interesuet tol'ko ee izmenenie. Nikto i ne paritsya sil'no, prosto pishut - chislo. Kem-to kogda-to poschitannoe, nu i Bog s nim. No grosh tomu tsena, kto i voprosami ne zadaetsya. Na veru toje vse prinimat' nel'zya.
"шпаргалка..." stidno mne, ne mogu sebe takogo pozvolit'
Ne stidno bilo elektroradiotehniku spisivat'. Otlicno spisala. No eto bilo davno i nepravda.
a>1, a<=1 - srazu dva, eto shtamp, moi

Цитата:

А что касается условия , то оно более содержательно, это область определения функции, ну или, по крайней мере, область действия данного определения функции.

Ne vdavayas' v tonkosti, mne hvataet obichnogo ponimaniya proishodyashego. S matematikami ne sporyu. Kto na chto uchilsya. Kto na chto garazd.

Цитата:

по ассоциации (если позволено мне будет столь ученое слово употребить)

assotsiatsii - super slovo, ya lichno ego lyublyu

Цитата:

Вы

Menya mojno na ti. Abi ne grubili. I krov' krasnaya kak u vseh.
Kak tol'ko zapominayu dva pervih chisla B., srazu zabivayu kak oni svyazani s funktsiei R. Oto take - golova - ne jenskie kolgotki
Vam spasibo za pomosh'.