Задача по теории делимости!(школьная)

[maxmatem]

Всем добрый вечер!
как док-ть что выражение делится на 100 при n натуральном,
$(7+7^{2}+7^{3}+...+7^{4n})$
но док-во должно быть не по индукции, и школьными методами!

[Trotil]

Сверни $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$

[Алексей К.]

Объедините последовательные четвёрки слагаемых. А первую тупо или умно сосчитайте.

[maxmatem]

первая четверка равна 2800, она делится на 100, а как последнюю четверку записать и почему она на 100 делится будет?

[ewert]

maxmatem в сообщении #243158 писал(а):

первая четверка равна 2800, она делится на 100, а как последнюю четверку записать и почему она на 100 делится будет?

А что можно вынести за скобки из каждой четвёрки -- и что в ней тогда останется?...

[AKM]

Ценя Ваши усилия по освоению $\TeX$a, извещаю Вас, что

$$7^5+7^6+7^7+7^8=7^4(\underbrace{7^1+7^2+7^3+7^4}_{2800}).$$

Также (ewertом навеяло) $7^1+7^2+7^3+7^4=7(1+7^1+7^2+7^3)=7\cdot 400$...

[maxmatem]

это ясно , но я пока не понял как выглядит последняя четвёрка? из неё надо $7^{4n}$ вынести?

[ewert]

maxmatem в сообщении #243166 писал(а):

это ясно , но я пока не понял как выглядит последняя четвёрка? из неё надо $7^{4n}$ вынести?

С какой стати? Выносить надо, естественно, младшую степень, а не старшую.

[AKM]

Насколько я понял, последняя четвёрка заканчивается на $7^{4n}$, и $7^{4n}$ из неё никак не вынесешь. А вот $7^{4n-4}$ я бы попытался повыносить.

[Алексей К.]

По-хорошему, надо забыть про ЭВМ(=компьютер), взять старомодные бумагу и ручку, выписать аж 20 (да!, не меньше!) последовательных слагаемых, разбить их на четвёрки (подчёркиванием) и... всё будет ясно. Главное --- от ЭВМ отвернуться.

[maxmatem]

я правильно понял, что мы выноси каждый раз выносим то $7^{4},7^{8},7^{12},7^{16}$,но я плохо пердставляю последнюю четверку , она так выглядит?
$(7^{n}+7^{2n}+7^{3n}+7^{4n})$

[gris]

А у кого нет бумаги и ручки?

$$7^{4n-3} + 7^{4n-2} + 7^{4n-1} + 7^{4n}$$

[maxmatem]

Gris! значит из последней четвёрки надо вынести $7^{4n-4}$ ?

[gris]

Лучше $7^{4n-3}$

[maxmatem]

я вынес $7^{4n-4}$ и получил вот что
$[(7+7^{2}+7^{3}+7^{4})](7^{4}+7^{8}+...+7^{4n-4})$ делится на 100. ура!

-- Вс сен 13, 2009 23:50:42 --

gris! а не подскажите как узнать сократима ли дробь $(3n+2)/(4n+1)$
можно ли ч/з цепные дроби?