Предел функции

[daogiauvang]

пусть функция $f(x)$ определена и дважды непрерывно дифферецируема на $R$, причем для всех $ x\in R$ выполняется неравенство $|f Найти $\lim_{x \to \infty} f(x)$

[leshik]

Ok, это просто Лопиталь для $\frac {f(x) e^{\frac{x^2}{2}}}{e^{\frac{x^2}{2}}}$ .

[daogiauvang]

Ответ: $0$ Правильно ли???

[RIP]

daogiauvang в сообщении #242812 писал(а):

Ответ: $0$ Правильно ли???

Правильно. Только Лопиталь тут не совсем при чём. Правильнее так. Если обозначить $g(x)=f''(x)+2xf'(x)+(x^2+1)f(x)$, то $\frac{d^2}{dx^2}\bigl(f(x)e^{x^2/2}\bigr)=g(x)e^{x^2/2}$, поэтому
$f(x)e^{x^2/2}=\int_0^x\int_0^tg(\xi)e^{\xi^2/2}d\xi\,dt+O(x)=$
$=O\bigl(\int_0^{|x|}\int_0^te^{\xi^2/2}d\xi\,dt+|x|\bigr)=o\bigl(e^{x^2/2}\bigr)$, $x\to\infty$
(вот для проверки последнего соотношения уже можно пользоваться Лопиталем; а можно и не пользоваться).

[leshik]

Думаю что Лопиталь очень даже причем. Правило Лопиталя справедливо когда знаменатель стремится к $\infty$ без всяких предположений о числителе. Так что не нужны никакие интегралы, а просто в лоб:

$\lim\limits_{x\to \infty} f(x)= \lim \limits_{x\to \infty} \frac {f(x)e^{\frac{x^2}{2}}}{e^{\frac{x^2}{2}}}=\lim\limits_{x\to\infty} \frac {(f'(x)+x f(x))e^{\frac{x^2}{2}} }{x e^{\frac{x^2}{2}} } = \lim_{x\to\infty} \frac{g(x)}{x^2+1} = 0.$

Тут $g(x)$ это та же функция, что и у RIP. И когда пишешь Лопиталя второй раз сокращать $e^{\frac{x^2}{2}}$ не нужно