Геометрия-Пересечение цилиндров

[ewert]

Moland в сообщении #241918 писал(а):

т.е. длина окружности основания малого цилиндра, более того это верно когда D стремится к бесконечности, а d - к нулю.

Вот только в этом пределе -- когда отношение диаметров стремится к нулю -- это и верно. А для любой конкретной пары диаметров -- нет.

[Moland]

AKM в сообщении #241925 писал(а):

$$\begin{array}{cccccc} (D,d):&(100,1)& (10,1)& (5,1) & (2,1) & (1,1)\\[6pt] \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{\dfrac{D^2-d^2\sin^4t}{ D^2-d^2\sin^2t}}\;dt\::& 6.283224579&6.287130199 &6.299184967 &6.394488914 & 7.640395578 & \\ & 2.0000125\pi& 2.0012557\pi& 2.0050929\pi& 2.0354290\pi& 2.4320134\pi \end{array} $$

Посчитано в Maple. Онлайн программу (пока?) не смотрел.

Подведу итоги.
1.При большой разнице диаметров т.е при стремлении отношения d/D к нулю-длина линии пересечения при заданных мной условиях стремится к длине окружности радиусом d.
2. При стремлении отношения d/D к единице длина линии пересечения стремится к длине эллипса с осями D и $$ D\sqrt{2}\;.
Т.е длина этой линии больше чем $$ \pi*d\; и меньше или равна чем примерно $$ 1.216\pi*d\;.
Что касается той онлайн-программы http://www.webmath.ru/web/prog11_1.php то там творятся чудеса. Та программа считает пятью спосабами: методом прямоугольников, методом средних, методом трапеций, методом Симпсона и 3/8. Когда я спрашивал, правда ли что всегда интеграл

$$ \int_0^{2\pi}\sqrt{D^2-d^2\sin^4t\over D^2-d^2\sin^2t}\;dt$$

равен $$ 2\pi\; я рассчитывал (ставил галочку в программе) только методом прямоугольников. После того как написал АКМ свои результаты я поставил галочки во всех методах и результаты для D=d=1 получились разными: три метода дали 7,64 как и у АКМа, а два метода(включая метод прямоугольников) дали примерно 6,28. Метод 3/8 выдал результаты при соотношениях 100 к 1, 10 к 1, 5 к 1, 2 к 1 и 1 к 1 примерно такие же как у АКМ, а остальные начиная с 2 к 1 и до 100 к 1 выдали 6,28, что примерно 2*ПИ. Может Maple рассчитывает по 3/8 и почему другие методы выдают для одного интеграла разные значения для меня загадка?

[ewert]

Moland в сообщении #242006 писал(а):

Может Maple рассчитывает по 3/8 и почему другие методы выдают для одного интеграла разные значения для меня загадка?

Для меня тоже, не хочу даже и разгадывать. При сотне шагов все перечисленные методы (абсолютно все) дадут не менее 15 правильных цифр (естественно, одинаковых), и примерно с одной и той же точностью.

Есть, правда, ньюанс. Для 1:1 методы трапеций, прямоугольников и Симпсона могут давать (при неаккуратной реализации), в принципе, чёрт-те-что, поскольку там в двух точках появляется неопределённость. Но и тут -- совершенно непонятно, откуда может взяться именно два пи.

Загадки. Может, ну его, тот интерактив?...

[RIP]

Я там немного поигрался с этой интегралкой; судя по всему, она выдаёт такие странные результаты, только когда считает "по точности", а не "по шагам", а верхний предел интегрирования близок к целому кратному $\pi$ (при нулевом нижнем); ещё от метода зависит.

[Gordmit]

[удалено]

[vvvv]

Перемена знака ничего не дала. См. картинку.

[Gordmit]

[удалено]

[vvvv]

....

[Gordmit]

[удалено]

[vvvv]

Это последняя?

[Gordmit]

Нет. Вот последняя:

$$L=\frac{d}{2\sin\alpha}\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{\frac{D^2-d^2\sin^4 t}{D^2-d^2\sin^2 t}-\cos^2\alpha\cos^2t+\frac{2d\cos t\sin^2 t}{\sqrt{D^2-d^2\sin^2 t}}\cos\alpha}\,dt.$$

(Предыдущие неправильные варианты удалил. Вот что значит не вычислять на коленке, а сесть и аккуратно все написать!)
Только получается в два раза меньше, чем у Вас, при этом согласуется с формулой ewert-a при $\alpha=\frac{\pi}{2}$.

[vvvv]

....

[ewert]

vvvv в сообщении #242896 писал(а):

Gordmit, смотрите картинку.

Ну и чем конкретно Вы на этой картинке недовольны? Всё согласуется. Просто Вы в третьей строчке убрали множитель в полдиаметра, а потом зачем-то удивляетесь каким-то якобы противоречиям.

[vvvv]

Так в том и дело, что у Вас этого множителя нет, а у Gordmit есть (при альфа равным пи/2)

[ewert]

vvvv в сообщении #242908 писал(а):

Так в том и дело, что у Вас этого множителя нет

ewert в сообщении #240120 писал(а):

$$ L={d\over2}\int_0^{2\pi}\sqrt{D^2-d^2\sin^4t\over D^2-d^2\sin^2t}\;dt$$