Математическая статистика, вопрос по порядковым статистикам.

[IE]

Задачка: Пусть $X_1,\dots,X_n$ -- н.о.р. случайные величины с равномерным распределением $U[0,1]$. Доказать, что $X^{(n)}_{[\sqrt{n}]}\stackrel{P}{\rightarrow}0$ при $n\rightarrow\infty$

Попробовал по определению показать, что $P\{X^{(n)}_{[\sqrt{n}]}>\varepsilon\}\rightarrow 0$, удобнее считать через плотность, чем через функцию распределения, выраженную как сумму, получаем, что интересующая нас вероятность равна $nC^{[\sqrt{n}]-1}_{n-1}\int\limits_{\varepsilon}^{1}{x^{[\sqrt{n}]-1}(1-x)^{n-[\sqrt{n}]}dx}$, подставил в биномиальный коэффициент формулу Стирлинга, но что-то легче от этого не стало.

Вопрос: А зачем рассматривают асимптотические распределения нормированных порядковых статистик, типа $F_{X^{(n)}_n}(\frac{x}{a_n}+b_n)$ и будет ли от них толк в этой задаче, если мы знаем, что $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}P\{(X^{(n)}_{[\sqrt{n}]}-n^{-\frac12})n^{\frac34}<x\}\rightarrow \Phi(x)$

И еще один вопрос: может ли кто-то поделиться электронным вариантом следующих двух статей:
Д. М. Чибисов, “О предельных распределениях для членов вариационного ряда”, ТВП, 9:1 (1964)
Н. В. Смирнов, “Предельные законы распределения для членов вариационного ряда”, Тр. МИАН СССР, 25

[--mS--]

IE в сообщении #242901 писал(а):

Задачка: Пусть $X_1,\dots,X_n$ -- н.о.р. случайные величины с равномерным распределением $U[0,1]$. Доказать, что $X^{(n)}_{[\sqrt{n}]}\stackrel{P}{\rightarrow}0$ при $n\rightarrow\infty$

Вычислите математическое ожидание и воспользуйтесь неравенством Маркова.

IE в сообщении #242901 писал(а):

Вопрос: А зачем рассматривают асимптотические распределения нормированных порядковых статистик, типа $F_{X^{(n)}_n}(\frac{x}{a_n}+b_n)$ и будет ли от них толк в этой задаче, если мы знаем, что $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}P\{(X^{(n)}_{[\sqrt{n}]}-n^{-\frac12})n^{\frac34}<x\}\rightarrow \Phi(x)$

Почему бы и не быть толку. Если $\eta_n=n^{3/4}(\xi_n - n^{-1/2}) \Rightarrow \eta$, то $\xi_n-n^{-1/2} = \eta_n \cdot n^{-3/4} \Rightarrow 0$, следовательно и $\xi_n \Rightarrow 0$. Слабо сходится к постоянной, следовательно, и по вероятности.

[IE]

--mS--
Большое спасибо!