Интеграл на бесконечно малом интервале

[Fgolm]

Всегда ли интеграл от произвольной функции на бесконечно малом интервале будет равен нулю?
Например интегрируемая функция получена дифференцированием от разрывной функции (имеющей на интервале одну точку неустранимого разрыва первого рода).

[ewert]

Fgolm в сообщении #242686 писал(а):

интегрируемая функция получена дифференцированием от разрывной функции

Она не будет получена, т.к. производная от разрывной функции (в обычном понимании производной) не существует.

А вообще погуглите на "обобщённые функции", или почитайте соотв. книжки, если Вас это и впрямь заинтересовало.

[gris]

Если под бесконечно малым интервалом понимать интервал, длина которого стремиться к нулю, то

$$\lim \limits_{a\to 0} \int\limits_0^a \frac {dx}{x}$$

не существует, хотя подынтегральная функция непрерывна на интервале

PS По Лебегу будет равен нулю, конечно

PPS Вспоминаю слова - "обобщенная функция - не есть функция"

[Circiter]

Хм, а если функция не дифференцируема в некоторой точке (из-за разрыва), то она может быть дифференцируемой во всех остальных точках?

Если да, то все-таки должно выполняться что-то вроде (если нужные пределы существуют):

$$\lim_{\alpha\to\beta}\int\limits_\alpha^\beta f(x)dx=\big[f(x)=F'(x)\big]=\lim_{\alpha\to\beta}\big\{F(\alpha)-F(\beta)\big\}=0.$$

А пример gris'а показывает, что в общем случае ответ на вопрос Fgolm'а скорее всего должен быть отрицательным (если по Риману интегрировать)...

[Fgolm]

Circiter, а если первообразная - разрывная функция, можно ли применять формулу Ньютона влоб?

ewert в сообщении #242691 писал(а):

А вообще погуглите на "обобщённые функции", или почитайте соотв. книжки, если Вас это и впрямь заинтересовало

Из книги [Владимиров В.С. "Обобщенные функции в математической физике"]:
$\[f' = f'_{cl} \left( x \right) + \sum\limits_k {\left[ f \right]_{x_k } \delta \left( {x - x_k } \right)} \]$, (1)
где
$\[f'_{cl} \left( x \right)\]$ - классическая производная $\[f\left( x \right)\]$, равная $\[f'\left( x \right)\]$ при $\[x \ne x_k \]$ и не определена в точках $\[\left\{ {x_k } \right\}\]$,
$\[{\left[ f \right]_{x_k } }\]$ - скачок функции $\[f\left( x \right)\]$ в точке $\[{x_k }\]$.

Теперь воспользуемся (1) для случая одной точки разрыва. Положим $\[{x_0 = 0}\]$.
Интегрировать будем по симметричному пределу $\[\left[ { - a;a} \right]\]$:

$\[\int\limits_{ - a}^a {f'dx} = \int\limits_{ - a}^a {f'_{cl} \left( x \right)dx} + \int\limits_{ - a}^a {\left[ f \right]_{x_0 } \delta \left( x \right)dx}\]$ (2)

Используя свойства дельта-функции получим:

$\[\int\limits_{ - a}^a {f'dx} = \int\limits_{ - a}^a {f'_{cl} \left( x \right)dx} + \left[ f \right]_{x_0 }\]$ (3)


И устремим в (3) $\[a\]$ к нулю.
Тогда первый интеграл в правой части даст ноль.


В итоге получим:

$\[\int\limits_{ - a}^a {f'dx} = \left[ f \right]_{x_0 } \]$.