задача по теории делимости!

[maxmatem]

$7^{n+2}+8^{2n+1}$

[gris]

База индукции $n=0$ и т.д.
Если через бином, то $=49\cdot 7^n+8\cdot 64^n$
7=6+1
64=63+1

[maxmatem]

я получил что ((49*6A)+(8*63*A1)+57) делится на 3!!!!!!ура

[bot]

maxmatem в сообщении #242219 писал(а):

я получил что ((49*6A)+(8*63*A1)+57) делится на 3!!!!!!ура

Я бы факториалы после ура поставил.
$3!!!!!!$ - это произведение всех натуральных чисел от 1 до 3, делящихся на 6, то есть произведение элементов пустого множества. По определению это принимается за единицу. На 1 делится любое целое.
Если же поставить скобки, то получается очень много:
$((((((3!)!)!)!)!)!=(((((6!)!)!)!)!=((((720!)!)!)!= \dots $
Неужто оно меньше делимого? А есть ли столько атомов во вселенной?

[TOTAL]

bot в сообщении #242337 писал(а):

Я бы факториалы после ура поставил.
$3!!!!!!$ - это произведение всех натуральных чисел от 1 до 3, делящихся на 6

$\text{ура}!!!!!!$ - это произведение всех натуральных чисел от 1 до $\text{ура},$ делящихся на что?

[maxmatem]

да я просто знак !!! не там поставил. а ура потому что задача получилась

-- Пт сен 11, 2009 16:58:09 --

да я просто знак !!! не там поставил. а ура потому что задача получилась

[Профессор Снэйп]

$$ 5^{2n+1}+3^{n+2}\cdot 2^{n-1} = 5 \cdot (19+6)^n + \frac{9}{2} \cdot 6^n = 19k + 5 \cdot 6^n + \frac{9}{2} \cdot 6^n = 19k + \frac{19}{2} \cdot 6^n $$

где

$$ k = \frac{5}{19}\sum_{t=0}^{n-1} \binom{n}{t} \cdot 19^{n-t} \cdot 6^t $$

есть целое число (выражение для $k$ получается из формулы бинома Ньютона).

-- Пт сен 11, 2009 19:53:20 --

P. S. Если чуть более продвинуто, то в $\mathbb{Z}_{19}$ имеем $5^2 = 6$, $1/2 = 10$, $9 \cdot 10 = 14$. И, оставаясь в $\mathbb{Z}_{19}$, получаем

$$ 5^{2n+1} + 3^{n+2} \cdot 2^{n-1} = 5 \cdot 6^n + 9 \cdot 10 \cdot 6^n = (5 + 14) \cdot 6^n = 0 $$

[bot]

jetyb в сообщении #242107 писал(а):

Используя сравнения по модулю 19, приведите выражение к виду линейной комбинации чисел в степени $n-1$.

Казалось бы чего проще, а топикстартеру показалось сложно, а профессор бином предлагает, что в принципе то же самое, но более громоздко.

ЗЫ. Пока рисовал буковки, расшифровывая сообщение jetybа, профессор в своём PS сделал быстрее.

-- Пт сен 11, 2009 17:17:19 --

Забавная последовательность постов по времени:

Пт сен 11, 2009 16:43:52 Профессор Снэйп написал

-- Пт сен 11, 2009 19:53:20 -- Профессор Снэйп добавил PS

Пт сен 11, 2009 17:09:45 bot написал

Щас глянем, когда bot добавил?

Всё путём:
-- Пт сен 11, 2009 17:17:19 --bot добавил

[Профессор Снэйп]

bot в сообщении #242389 писал(а):

Казалось бы чего проще, а топикстартеру показалось сложно, а профессор бином предлагает...

Самое смешное, что в школе сейчас, похоже, изучают бином Ньютона, но не изучают "линейные комбинации". Насчёт матиндукции --- не знаю: у меня сложилось впечатления, что про индукцию в школе говорят, но мало и непонятно.

Автор же хочет, чтобы задача была решена как можно более "школьными" методами. Так что через бином --- наиболее простое и понятное решение

А вообще, конечно, для того, чтобы применять индукцию, надо сделать грамотное индукционное предположение. С индукцией всегда так

[AKM]

maxmatem в сообщении #242219 писал(а):

я получил что ((49*6A)+(8*63*A1)+57) делится на 3!!!!!!ура

! Я бы на Вашем месте уменьшил количество восклицательных знаков, пока Вы не научитесь ещё и писать формулы по Правилам форума...