задача по теории делимости!

[gris]

Ну jetyb же подсказал путь решения. И я намекал. Подставьте $25=19+6$ и раскройте скобки.

[maxmatem]

т.е надо разложить по биному выражение (19+6)^m ?

[gris]

Да.
Кстати, и по индукции вполне проходит решение.
Но вначале бином попробуйте. Отделите от него члены, которые содержат 19.

[maxmatem]

кажется разложил но не уверен что верно, так что дальше?

[gris]

Не имеют никакого значения коэффициенты разложения, кроме последнего - при $6^m$. Остальные члены разложения содержат 19 в какой-то степени и делятся на 19.
А дальше остаётся $125\cdot 6^m+27\cdot 6^m$

[maxmatem]

просто я видемо плохо пользуюсь биномом, тк у меня коэф при 6*19^m-1 , равен 1/m-1 верно? как представить (m-2)!=?

-- Пт сен 11, 2009 00:02:10 --

покажите ваше разложение если вам нетрудно , только подробно!

[gris]

$(19+6)^m=19^m+C^1_m19^{m-1}\cdot 6 +C^2_m19^{m-2}\cdot 6^2+\cdots++C^{m-1}_m19\cdot 6^{m-1}+6^m=$
Все биномиальные коэффициенты целые числа, поэтому первые $m$ слагаемых делятся на 19:
$=19A+6^m$

[maxmatem]

разложение я тоже такое получил и понял что коэф.считать не надо кроме последнего но вы написали что остаётся 225*(6^m)+27*(6^m), первая часть откуда?
т.о я получил выражение 125*(19*A+(6^m))+27*(6^m)
но я не понимаю что нам дало разложение в бином?

[gris]

Упс... Конечно, 125.
Ну ещё раз раскройте скобки и сложите коэффициенты при $6^m$

[maxmatem]

т.е имеем (2375*A)+152*(6^m) значит каждое из слогаемых делися на 19, значит и всё выр делится на 19!!!
но у вас в сообщении запись без A? вы его забыли или я неправильно написал?

[gris]

Правильно Вы написали. Я имел в виду дополнение к тому, что уже делится на 19. Кстати, теперь Вы уже сможете всё гораздо проще доказать по индукции, используя как раз то, что 25=19+6!

[maxmatem]

спасибо вам огромное за помощь!

[gris]

Да ладно.
Напишу индукцию
При $n=1$

$$5^{2n+1}+3^{n+2}\cdot 2^{n-1}=125+27=152$$

делится
Пусть делится при $n$
Возьмём $n+1$

$$5^{2(n+1)+1}+3^{n+1+2}\cdot 2^{n+1-1}=25\cdot 5^{2n+1}+3\cdot 2\cdot 3^{n+2}\cdot 2^{n-1}=19 \cdot 5^{2n+1}+6(5^{2n+1}+3^{n+2}\cdot 2^{n-1})$$

тоже делится. Вот и всё.
Индукция рулит.

[maxmatem]

(7^(n+2))+8^(2n+1) делится на 3,
я заменил m=n+2 и получил
(7^m)+8^(2m-3)=(7^m)+(1+7)^(2m-3) но дальше не идёт! в чём загвоздка?

[gris]

Тоже по индукции. Да пишите Вы формулы в окружении знаков $, а показатель степени в фигурных скобках. Самому же понятнее будет.

7^{n+2}+8^{2n+1}

$7^{n+2}+8^{2n+1}$

7=6+1
64=63+1