Минимум функционала

[Alexey1]

Задан функционал на $C[0,1]$
$f(x)=\int_0^{1/2} x(t)dt-\int_{1/2}^1 x(t)dt$
Почему супремум $f(x)$ на единичной сфере равен 1?
На единичной сфере означает, что рассматриваются все непрерывные функции заполняющие единичную сферу. Но интеграл сферы в первом квадранте меньше 1.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #241273 писал(а):

Задан функционал на $C[0,1]$
$f(x)=\int_0^{1/2} x(t)dt-\int_{1/2}^1 x(t)dt$
Почему супремум $f(x)$ на единичной сфере равен 1?

Тут есть намёк на нечто содержательное, но -- не более чем намёк, и он абсолютно непонятен. Что суть функции на единичной сфере, заданные на отрезке?... -- загадки, загадки...

[Alexey1]

То есть вместо сферы должна быть окружность? Я просто нарисовал окружность на графике с осями $y=f(x)$ и $x$, затем функции из $C[0,1]$ находящиеся в данной окружности и составляют то множество по которому идёт оптимизация. Верно ли такое представление?

[RIP]

Под сферой, ясен пень, понимается сфера в $C[0;1]$, т.е. множество функций $x\in C[0;1]$ с единичной нормой, так что всё нормально сформулировано.

[Alexey1]

RIP в сообщении #241284 писал(а):

Под сферой, ясен пень, понимается сфера в $C[0;1]$, т.е. множество функций $x\in C[0;1]$ с единичной нормой, так что всё нормально сформулировано.

Спасибо сейчас стало понятнее. Скажите в этом смысле (в $C[0,1]$) сфера это $||x||\leq 1$ или $||x||<1$. Просто в примере не указывается какая сфера. Хотя указывается, что "...ни одна непрерывная функция с нормой меньше единицы не достигает этого супремума".
Этим примером показывается, что единичная сфера не является компактом.

[RIP]

Если сфера, то $\|x\|=1$; по крайней мере, я не видел, чтобы в русской лит-ре сферой называли шар. Но если брать шар, то можно брать любой.

-- Пн 07.9.2009 21:47:36 --

Alexey1 в сообщении #241294 писал(а):

Этим примером показывается, что единичная сфера не является компактом.

Тогда $\|x\|\le1$ (или всё же $\|x\|=1$?). Откуда пример?

[AGu]

Alexey1 в сообщении #241273 писал(а):

Почему супремум $f(x)$ на единичной сфере равен 1?

Существует последовательность $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ таких функций $x_n\in C[0,1]$, что $\|x_n\|_\infty=1$ и $\|x_n-\sigma\|_1\to0$, где $\sigma=\chi_{[0,\frac12]}-\chi_{(\frac12,1]}$.