Доказать, что нет минимума

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста доказать, что нет локального минимума у функции

$\[ f\left( x \right) = - x^2 - \frac{{x^4 \left( {1 - x} \right)^2 }} {{\left( {x - 1/4} \right)}} \]$ при $x>1/4$

[Mikhail Sokolov]

Странный вопрос. Потому, что при больших $x$ $f$ убывает как $-x^5$. Или я что-то не понимаю?

[ShMaxG]

Ну, минимум - в смысле как экстремум. Там максимум есть, а надо доказать, что нет минимума.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #241299 писал(а):

Помогите пожалуйста доказать, что нет минимума у функции

$\[ f\left( x \right) = - x^2 - \frac{{x^4 \left( {1 - x} \right)^2 }} {{\left( {x - 1/4} \right)}} \]$ при $x>1/4$

Да попросту потому, что он есть, но равен минус бесконечности. Попросту потому, что именно таков предел функции при $x\to{1\over4}+0$. Загадочная задачка. И кто только такие сочиняет?...

[ShMaxG]

ewert
Я имел ввиду, что нет локального минимума. Локальный максимум-то есть.

[RIP]

Имеется в виду локальный минимум? Можно попробовать сделать замену $x=1/4+t$ и посмотреть, как себя ведёт то, что получится, при $t>0$ (довольно мрачно получается...).

[ShMaxG]

Ну наверно надо использовать "хорошесть" функции... Как-нибудь доказать, что функция на одном участке только возрастает, на другом - только убывает, что даже стационарных точек нет...

-- Пн сен 07, 2009 22:39:22 --

Вот производная:
$ \[ f'\left( x \right) = - 2x - \frac{{x^3 \left[ {4\left( {1 - x} \right)^2 + 2x\left( {x - 1} \right)} \right]\left( {x - 1/4} \right) - x^4 \left( {x - 1} \right)^2 }} {{\left( {x - 1/4} \right)^2 }} \]$.

Вот при $x>1$ числитель дроби строго положителен, значит здесь функция строго убывает.

[ewert]

Доказательство отсутствия локального минимума $\approx$ доказательству монотонности на всей полуоси. Ну, может, и можно доказать... да только как-то скушно...

[Андрей123]

Вот не совсем простой способ доказательства. Вторая производная Вашей функции приводится к виду:$\frac{g(x)}{(4 x-1)^3}$, где $g(x)=-1280 x^6+2304 x^5-1464 x^4+288 x^3+48 x^2-24 x+2$. В свою очередь производную $g(x)$ можно привести к виду:$-24 (4 x-1)^2 \left(20 x^3-20 x^2+4 x+1\right)$. У этого многочлена уже можно найти корни и увидеть, что при $x>0$, он строго меньше нуля. Значит на $(0;\infty)$ $g(x)$ убывает, $g(1/4)<0$, значит на $(1/4;\infty)$ $g(x)<0$.Значит вторая производная функции на $(1/4;\infty)$ меньше нуля, а значит производная имеет не более одного корня. Максимум, как Вы сказали есть, значит других критических точек уже не будет.

[ShMaxG]

Спасибо! Но вчера вечером я уже решил эту задачу.